Ringwechsel/Spektrumsabbildung/Zurückgezogener Modul/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}\theta \colon A\rightarrow B}$ ein Ringhomomorphismus zwischen den kommutativen Ringen ${\displaystyle {}A}$ und ${\displaystyle {}B}$ und sei ${\displaystyle {}\varphi \colon \operatorname {Spek} {\left(B\right)}\rightarrow \operatorname {Spek} {\left(A\right)}}$ die zugehörige Spektrumsabbildung. Es sei ${\displaystyle {}M}$ ein ${\displaystyle {}A}$-Modul mit der zugehörigen Modulgarbe ${\displaystyle {}{\widetilde {M}}}$ auf ${\displaystyle {}\operatorname {Spek} {\left(A\right)}}$. Zeige

${\displaystyle {}\varphi ^{*}({\widetilde {M}})={\widetilde {M\otimes _{A}B}}\,}$

auf ${\displaystyle {}\operatorname {Spek} {\left(B\right)}}$.