Sägezahnfunktion/Identität auf Einheitsintervall/Fourierreihe/Fakt/Beweis

Mit partieller Integration ist für ${\displaystyle {}n\neq 0}$

${\displaystyle {}{\begin{aligned}c_{n}&=\int _{0}^{1}te^{-2\pi {\mathrm {i} }nt}dt\\&={\frac {\mathrm {i} }{2\pi n}}te^{-2\pi {\mathrm {i} }nt}|_{0}^{1}-\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {i} }{2\pi n}}e^{-2\pi {\mathrm {i} }nt}dt\\&={\frac {\mathrm {i} }{2\pi n}},\end{aligned}}}$

da der hintere Integrand eine periodische Stammfunktion besitzt. Ferner ist ${\displaystyle {}c_{0}={\frac {1}{2}}}$. Somit ist gemäß Fakt ${\displaystyle {}a_{n}=c_{n}+c_{-n}=0}$ und

${\displaystyle {}b_{n}={\mathrm {i} }{\left(c_{n}-c_{-n}\right)}={\mathrm {i} }{\left({\frac {\mathrm {i} }{2\pi n}}-{\frac {\mathrm {i} }{2\pi (-n)}}\right)}=-{\frac {1}{\pi n}}\,.}$

Die Fourierreihe ist also

${\displaystyle {}{\frac {1}{2}}+\sum _{n\neq 0}{\frac {\mathrm {i} }{2\pi n}}e^{2\pi {\mathrm {i} }nt}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\cdot \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin \left(2\pi nt\right)}{n}}\,.}$