SU2C/Element der Ordnung 2/Fakt/Beweis

Es sei

${\displaystyle {}M={\begin{pmatrix}u&-{\overline {v}}\\v&{\overline {u}}\end{pmatrix}}\,}$

mit ${\displaystyle {}u=a+b{\mathrm {i} }}$ , ${\displaystyle {}v=c+d{\mathrm {i} }}$ und mit ${\displaystyle {}M^{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}}$. Das bedeutet

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}u&-{\overline {v}}\\v&{\overline {u}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u&-{\overline {v}}\\v&{\overline {u}}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}u^{2}-v{\overline {v}}&-u{\overline {v}}-{\overline {u}}{\overline {v}}\\uv+{\overline {u}}v&-v{\overline {v}}+{\overline {u}}{\overline {u}}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

Wir nehmen zunächst ${\displaystyle {}v\neq 0}$ an. Daraus folgt ${\displaystyle {}u+{\overline {u}}=0}$, also ist der Realteil von ${\displaystyle {}u}$ gleich ${\displaystyle {}0}$. Daher ist ${\displaystyle {}u}$ imaginär und sein Quadrat ist negativ. Dann ist aber auch ${\displaystyle {}u^{2}-v{\overline {v}}}$ negativ und nicht gleich ${\displaystyle {}1}$. Also ist ${\displaystyle {}v=0}$. Dann ist ${\displaystyle {}u^{2}=1}$ und somit ist ${\displaystyle {}u=\pm 1}$.