Satz von Bezout/Graph zweier Polynome/Beispiel

Es seien ${\displaystyle {}F,G\in K[X]}$ verschiedene Polynome vom Grad ${\displaystyle {}d\geq e\geq 1}$ und seien

${\displaystyle {}C=V_{+}{\left(YZ^{d-1}-{\hat {F}}(X,Z)\right)}\,}$

und

${\displaystyle {}D=V_{+}{\left(YZ^{e-1}-{\hat {G}}(X,Z)\right)}\,}$

die projektiven Abschlüsse der zugehörigen Graphen gemäß Fakt. Die Schnittpunkte von ${\displaystyle {}C}$ und ${\displaystyle {}D}$ in

${\displaystyle {}{\mathbb {A} }_{K}^{2}\cong D_{+}(Z)\,}$

sind einfach die Schnittpunkte der beiden Graphen. Man kann sie bestimmen, indem man die Nullstellen von ${\displaystyle {}F-G}$ bestimmt. Dabei gibt es maximal ${\displaystyle {}d}$ Nullstellen, auch wenn man die Multiplizitäten mitzählt (bei ${\displaystyle {}d>e}$ ist die Multiplizitätensummen genau gleich ${\displaystyle {}d}$). Es sei ${\displaystyle {}e\geq 2}$. Nach Fakt gehört zu beiden Kurven auf ${\displaystyle {}V_{+}(Z)}$ noch der Punkt ${\displaystyle {}(0,1,0)}$, dort muss also eine „hohe“ Schnittmultiplizität liegen, um auf die Gleichheit im Satz von Bezout zu kommen. Die inhomogenen Kurvengleichungen in

${\displaystyle {}D_{+}(Y)\cong {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,}$

sind ${\displaystyle {}Z^{d-1}-{\hat {F}}(X,Z)}$ bzw. ${\displaystyle {}Z^{e-1}-{\hat {G}}(X,Z)}$. Wir müssen die ${\displaystyle {}K}$-Dimension des Restklassenrings

${\displaystyle K[X,Z]_{(X,Z)}/{\left(Z^{d-1}-{\hat {F}}(X,Z),Z^{e-1}-{\hat {G}}(X,Z)\right)}}$

berechnen. Dieser Ring ist isomorph zu

${\displaystyle K[X,Z]_{(X,Z)}/{\left({\hat {F}}(X,Z)-Z^{d-e}{\hat {G}},Z^{e-1}-{\hat {G}}(X,Z)\right)}.}$

Die linke Gleichung ist homogen vom Grad ${\displaystyle {}d}$ und ${\displaystyle {}X^{d}}$ kommt darin vor (es sei nun ${\displaystyle {}d>e}$), sodass wir damit ${\displaystyle {}X^{d}}$ durch „kleinere“ Monome ausdrücken können. Die rechte Gleichung führt auf

${\displaystyle {}Z^{e-1}(1-\beta _{e}Z-\beta _{e-1}X)=\sum _{i+j=e,\,i\geq 2}\beta _{j}X^{i}Z^{j}\,.}$

Da ${\displaystyle {}1-\beta _{e}Z^{e}-\beta _{e-1}X}$ im lokalen Ring eine Einheit ist, können wir damit ${\displaystyle {}Z^{e-1}}$ durch kleinere Monome ausdrücken. Somit ist

${\displaystyle X^{i}Z^{j},0\leq i<d,0\leq j<e-1,}$

eine ${\displaystyle {}K}$-Basis des Restklassenrings, bestehend aus ${\displaystyle {}d(e-1)}$ Elementen. Die Schnittmultiplizität in diesem Punkt ist also ${\displaystyle {}d(e-1)}$, und somit gilt ${\displaystyle {}d(e-1)+d=de}$.