Satz von Bezout/ZY^2-X^3 und (X-Z)^2+Y^2-1/Beispiel

Wir betrachten die Neilsche Parabel ${\displaystyle {}C=V_{+}{\left(ZY^{2}-X^{3}\right)}}$ und den Kreis mit Mittelpunkt ${\displaystyle {}(1,0,1)}$, also ${\displaystyle {}D=V_{+}{\left((X-Z)^{2}+Y^{2}-Z^{2}\right)}}$. Nach dem Satz von Bezout erwarten wir eine Gesamtschnittzahl von ${\displaystyle {}6}$. Wir berechnen die Schnittpunkte. Für ${\displaystyle {}Z=0}$ folgt aus der ersten Gleichung ${\displaystyle {}X=0}$ und dann aus der zweiten ${\displaystyle {}Y=0}$, sodass es keinen Schnittpunkt auf der projektiven Geraden ${\displaystyle {}V_{+}(Z)}$ gibt. Wir betrachten daher die affinen Gleichungen ${\displaystyle Y^{2}-X^{3}=0}$ und ${\displaystyle (X-1)^{2}+Y^{2}-1=0}$. Wir berechnen die Schnittpunkte, indem wir ${\displaystyle {}Y^{2}=1-(X-1)^{2}}$ in die erste Gleichung einsetzen. Dies ergibt

${\displaystyle {}1-(X-1)^{2}-X^{3}=-X^{3}-X^{2}+2X=X{\left(-X^{2}-X+2\right)}=-X(X-1)(X+2)\,.}$

Dies führt zu den Schnittpunkten

${\displaystyle (0,0),(1,1),(1,-1),{\left(-2,2{\sqrt {2}}{\mathrm {i} }\right)},{\left(-2,-2{\sqrt {2}}{\mathrm {i} }\right)}.}$

Die beiden letzten Punkte zeigen auch, dass der Satz nur über einem algebraisch abgeschlossenen Körper gilt. Es gibt also nur ${\displaystyle {}5}$ Schnittpunkte. Da die Neilsche Parabel im Nullpunkt eine Singularität besitzt und dieser ein Schnittpunkt ist, so muss dort die Schnittmultiplizität größer als ${\displaystyle {}1}$ sein. Um dies zu bestätigen betrachten wir

${\displaystyle {}{\begin{aligned}K[X,Y]_{(X,Y)}/{\left(Y^{2}-X^{3},Y^{2}-1+(X-1)^{2}\right)}&=K[X,Y]_{(X,Y)}/{\left(Y^{2}-X^{3},X(X-1)(X+2)\right)}\\&=K[X,Y]_{(X,Y)}/{\left(Y^{2}-X^{3},X\right)}\\&=K[X,Y]_{(X,Y)}/{\left(Y^{2},X\right)}\\&=K[Y]/(Y^{2}).\end{aligned}}}$

Dabei haben wir die Einsetzungsrechnung von oben wiederholt und dann ausgenutzt, dass ${\displaystyle X-1}$ und ${\displaystyle X+2}$ Einheiten im lokalen Ring ${\displaystyle {}K[X,Y]_{(X,Y)}}$ sind. Die Dimension ist also ${\displaystyle {}2}$ und damit muss die Schnittmultiplizität an allen anderen Schnittpunkten ${\displaystyle {}1}$ sein, was man auch direkt bestätigen kann.