Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville

Der Satz von Liouville ist eine Aussage über beschränkte holomorphe Funktionen, deren Definitionsbereich die ganze komplexe Ebene ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ist.

Sei ${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ holomorph und beschränkt. Dann ist ${\displaystyle f}$ konstant.

Man stellt die Ableitung ${\displaystyle f'}$ der Funktion ${\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ über ein geschlossenes Wegintegral über den Kreisrand der Kreisscheibe mit Radius ${\displaystyle R>0}$ dar.

Der Integrationsweg ist wie folgt definiert.

${\displaystyle {\begin{array}{rrcl}\gamma :&[0,2\pi ]&\rightarrow &\mathbb {C} \\&t&\mapsto &\gamma (t)=z+R\cdot e^{it}\end{array}}}$

Der Integrationsweg with im Folgenden mit ${\displaystyle \partial B_{R}(z):=\gamma }$ als positiv orientierter Weg über den Rand des Kreises mit Radius ${\displaystyle R}$ um ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ bezeichnet.

Man verwendet für jedes ${\displaystyle R>0}$ und jedes ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ die Integralformel von Cauchy:

${\displaystyle {\begin{array}{rl}|f'(z)|&=\displaystyle \left|{\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial B_{R}(z)}{\frac {f(w)}{(w-z)^{2}}}\,dw\right|\leq \displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{\partial B_{R}(z)}\left|{\frac {f(w)}{(w-z)^{2}}}\right|\,dw\\&=\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{\partial B_{R}(z)}{\frac {|f(w)|}{\underbrace {|w-z|^{2}} _{=R^{2}}}}\,dw=\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\cdot {\frac {1}{R^{2}}}\int _{\partial B_{R}(z)}|f(w)|\,dw\\&\leq \displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\cdot {\frac {1}{R^{2}}}\cdot \underbrace {2\pi \cdot R} _{{\mathcal {L}}(\partial B_{R}(z))}\cdot \underbrace {\sup _{w\in \partial B_{R}(z)}|f(w)|} _{=:M}\\&={\frac {M}{R}}\to 0,\qquad R\to \infty \end{array}}}$

also ist ${\displaystyle f'=0}$ und damit ${\displaystyle f}$ konstant.

In der obigen Beweisstruktur ist in eine spezielle Anwendung der Cauchy-Ungleichung enthalten. Identifizieren Sie die Stelle der Anwendung und formulieren Sie den Beweis kürzer durch Anwendung der Cauchy-Ungleichung.

Sinus ist eine Funktion, die definiert auf ganz ${\displaystyle \mathbb {R} }$, reell differenzierbar und beschränkt ist. Die Sinus-Funktion ist aber nicht konstant.

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