Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz p-Normierbarkeit

Der Satz zur p-Normierbarkeit von topologischen Vektorräumen ${\displaystyle (V,{\mathcal {T}})}$ stellt einen Zusammenhang zwischen p-Normierbarkeit und der lokalen Beschränktheit der Topologie ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ her. Lokale Beschränktheit bedeutet dabei, dass eine "beschränkte" Nullumgebung ${\displaystyle U_{o}}$ exisitiert. Insgesamt ist Satz über p-Normierbarkeit zusammen mit dem Satz zur Quasinormierbarkeit einer der beiden notwendigen Teilaussagen für den Beweis des Korrespondenzsatzes für p-Normen und Quasinormen (siehe Köthe, Lineare Räume^[1])

Jeder topologische Vektorraum ist genau dann ${\textstyle p}$-normierbar, wenn dieser lokal beschränkt ist. Ebenso ist jeder topologische Vektorraum ist genau dann quasinormierbar, wenn die Topologie lokal beschränkt. Damit erhält man die Äquivalenzaussage des Korrespondenzsatzes:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}(A,{\mathcal {T}}_{A}){\mbox{ quasinormierbar }}&\Leftrightarrow &(A,{\mathcal {T}}_{A}){\mbox{ lokalbeschränkt }}\\&\Leftrightarrow &(A,{\mathcal {T}}_{A}){\mbox{ p-normierbar }}\end{array}}}$.

Ein topologischer Vektorraum ${\textstyle (V,{\mathcal {T}}_{V})}$ ist genau dann ${\textstyle p}$-normierbar, wenn dieser eine ${\textstyle p}$-konvexe beschränkte Nullumgebung besitzt mit ${\textstyle 0<p\leq 1}$.

Sei ${\textstyle V}$ ${\textstyle p}$-normierbar mit ${\textstyle p}$-Norm ${\textstyle \left\|\cdot \right\|}$. ${\textstyle \{{\rm {B}}_{\varepsilon }(0)=:U_{\varepsilon }\}_{\varepsilon >0}}$ sei die Menge der von der ${\textstyle p}$-Norm erzeugten ${\textstyle \varepsilon }$-Kugeln um ${\textstyle 0}$.

Die Nullumgebung ${\textstyle U_{1/2}}$ ist beschränkt, denn ${\textstyle \varepsilon ^{p}U_{1/2}\subset U_{\varepsilon }}$.

Aus der Bedingung ${\textstyle (Q2)}$ und ${\textstyle (Q3)}$ der Definition der ${\displaystyle p}$-Norm folgt, dass die Kugel ${\textstyle B_{\varepsilon }(0_{V})}$ absolut ${\textstyle p}$-konvex ist, denn es gilt für ${\textstyle x,y\in U_{\varepsilon }}$ und ${\textstyle |\lambda |^{p}+|\mu |^{p}\leq 1}$:

$${\displaystyle \left\|\lambda x+\mu y\right\|\leq |\lambda |^{p}\cdot \underbrace {\left\|x\right\|} _{<\varepsilon }+|\mu |^{p}\cdot \underbrace {\left\|y\right\|} _{<\varepsilon }<(|\lambda |^{p}+|\mu |^{p})\cdot \varepsilon \leq \varepsilon .}$$

Sei umgekehrt ${\textstyle U}$ eine beschränkte ${\textstyle p}$-konvexe Nullumgebung, dann enthält ${\textstyle U}$ mit der Stetigkeit der Skalarmultiplikation eine kreisförmige Nullumgebung ${\textstyle W}$.

Sei nun ${\textstyle 0_{V}\not =x\in \Gamma _{p}(W)}$ mit

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}x&=&\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}x_{j}{\mbox{ mit }}x_{j}\in W\subset U{\mbox{ und }}\mu ^{p}:=\sum _{j=1}^{n}|\alpha _{j}|^{p}\leq 1\\\Longrightarrow x&=&\sum _{j=1}^{n}\underbrace {\frac {|\alpha _{j}|}{\mu }} _{=:\beta _{j}}\underbrace {\left({\frac {\alpha _{j}}{|\alpha _{j}|}}\mu x_{j}\right)} _{=:y_{j}\in W\subset U}{\mbox{ mit }}\left|{\frac {\alpha _{j}}{|\alpha _{j}|}}\cdot \mu \right|=\underbrace {\left|{\frac {\alpha _{j}}{|\alpha _{j}|}}\right|} _{=1}\cdot \underbrace {\mu } _{\leq 1}\leq 1.\end{array}}}$

Man erhält somit eine "${\textstyle p}$-konvexe Darstellung" von Elementen aus der absolut ${\textstyle p}$-konvexen Menge ${\textstyle \Gamma _{p}(W)}$ durch Elemente aus ${\textstyle U}$, denn

$${\displaystyle x=\sum _{j=1}^{n}\beta _{j}y_{j}{\mbox{ mit }}y_{j}\in W\subset U,\ \sum _{j=1}^{n}\beta _{j}^{p}=1,\ \beta _{j}\geq 0}$$

Da die ${\textstyle y_{j}\in U}$ und ${\textstyle U}$ ${\textstyle p}$-konvex gewählt war, gilt ${\textstyle \Gamma _{p}(W)\subset U}$. Insgesamt enthält jede ${\textstyle p}$-konvexe Nullumgebung eine absolut ${\textstyle p}$-konvexe Nullumgebung als Teilmenge und man kann daher ${\textstyle U}$ als absolut ${\textstyle p}$-konvex voraussetzen.

Das Minkowskifunktional ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{U}}$ von der beschränkten Menge ${\textstyle U}$ und ${\textstyle \left\|\cdot \right\|:=\left\|\cdot \right\|_{U}^{p}}$ erzeugen die Topologie auf ${\textstyle V}$. Das Funktional ${\textstyle \left\|\cdot \right\|}$ erfüllt die Bedingungen ${\textstyle (PN1)-(PN2)}$ aus Definition p-Norm.

Es bleibt für ${\textstyle x,y\in V}$ die Dreieckungleichung ${\textstyle (PN3)}$ zu zeigen:

$${\displaystyle \lambda :=\left\|x\right\|_{U}+\varepsilon \mu :=\left\|y\right\|_{U}+\varepsilon \varepsilon >0{\mbox{ beliebig }}\Longrightarrow {\frac {x}{\lambda }},{\frac {y}{\mu }}\in U}$$

Da ${\textstyle U}$ absolut ${\textstyle p}$-konvex ist gilt:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\frac {x+y}{(\lambda ^{p}+\mu ^{p})^{\frac {1}{p}}}}&=&{\frac {\lambda }{(\lambda ^{p}+\mu ^{p})^{\frac {1}{p}}}}\cdot {\frac {x}{\lambda }}+{\frac {\mu }{(\lambda ^{p}+\mu ^{p})^{\frac {1}{p}}}}\cdot {\frac {y}{\mu }}\in U\\&\Longrightarrow &x+y\in (\lambda ^{p}+\mu ^{p})^{\frac {1}{p}}\cdot U\\&\Longrightarrow &\left\|x+y\right\|\leq \lambda ^{p}+\mu ^{p}=(\left\|x\right\|_{U}+\varepsilon )^{p}+(\left\|y\right\|_{U}+\varepsilon )^{p}.\\\end{array}}}$

Da ${\textstyle \varepsilon >0}$ beliebig gewählt war, folgt die Behauptung. ${\displaystyle \Box }$

Ein topologischer Vektorraum ${\textstyle (A,{\mathcal {T}}_{A})}$ ist genau dann ${\textstyle p}$-normierbar, wenn dieser eine ${\textstyle p}$-konvexe beschränkte Nullumgebung besitzt mit ${\textstyle 0<p\leq 1}$ für die gilt:

${\displaystyle \exists _{C>0}\forall _{x,y\in A}:\,\,\|x\cdot y\|_{p}\leq C\cdot \|x\|_{p}\cdot \|y\|_{p}}$

• Weisen Sie unter Verwendung des Satzes für die Äquivalenz der p-Normierbarkeit und der lokalen Beschränktheit der Topologie und der Eigenschaft der Stetigkeit der Multiplikation die Ungleichung

${\displaystyle \exists _{C>0}\forall _{x,y\in A}:\,\,\|x\cdot y\|_{p}\leq C\cdot \|x\|_{p}\cdot \|y\|_{p}}$

• Hinweis: Verwenden Sie u.a. das Topologisierungslemma für Algebren.

Sei ${\displaystyle V:=\left\{(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\,:\,\sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}<\infty \right\}}$ mit ${\displaystyle 0<p<1}$ als Folgenraum gegeben.

• Zeigen Sie, dass mit ${\displaystyle \|x\|_{p}:=\|(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\|_{p}:=\sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}}$ die Menge ${\displaystyle B_{1}(0_{V}):=\{(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in V\,:\,\|(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\|_{p}<1\}}$ eine absolut ${\displaystyle p}$-konvexe Menge ist!
• Starten Sie mit ${\displaystyle |\lambda _{1}|^{p}+|\lambda _{2}|^{p}\leq 1}$ und zeigen Sie, dass ${\displaystyle \lambda _{1}\cdot x+\lambda _{2}\cdot y\in B_{1}(0_{V})}$ für ${\displaystyle x,y\in B_{1}(0_{V})}$ gilt.

Sei ${\displaystyle (V,{\mathcal {T}}_{V})}$ ein endlichdimensionaler Vektorraum, dessen Topologie ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{V}}$ durch eine ${\displaystyle p}$-Norm ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}:V\to \mathbb {R} _{o}^{+}}$ erzeugt wurde. Zeigen Sie, dass die Topologie auch durch eine äquivalente Norm ${\displaystyle \|\cdot \|:V\to \mathbb {R} _{o}^{+}}$ erzeugt werden kann.

1. ↑ Gottfried Köthe (1966) Topologische lineare Räume, 15.10, S.162-166.

• Normen, Metriken, Topologie
• Minkowski-Funktional
• Satz über die Quasinormierbarkeit lokalbeschränkter Räume
• P-Regularität
• LC-Regularität
• PC-Regularität
• Topologisierungslemma für Algebren

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