Spektrum/Modul/Definition

Es sei ${\displaystyle {}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}}$ das affine Schema eines kommutativen Ringes ${\displaystyle {}R}$ und sei ${\displaystyle {}M}$ ein ${\displaystyle {}R}$-Modul. Unter dem zu ${\displaystyle {}M}$ gehörenden ${\displaystyle {}{\mathcal {O}}_{X}}$-Modul ${\displaystyle {}{\widetilde {M}}}$ auf ${\displaystyle {}X}$ versteht man die Zuordnung, die jeder offenen Menge ${\displaystyle {}U\subseteq X}$ die kommutative Gruppe

${\displaystyle \Gamma {\left(U,{\widetilde {M}}\right)}={\left\{{\left(s_{\mathfrak {p}}\right)}_{{\mathfrak {p}}\in U}\in \prod _{{\mathfrak {p}}\in U}M_{\mathfrak {p}}\mid {\text{ für alle }}{\mathfrak {p}}\in U{\text{ gibt es }}m\in M{\text{ und }}f\in R{\text{ mit }}{\mathfrak {p}}\in D(f)\subseteq U{\text{ und }}s_{\mathfrak {q}}={\frac {m}{f}}{\text{ in }}M_{\mathfrak {q}}{\text{ für alle }}{\mathfrak {q}}\in D(f)\right\}}\,}$

zusammen mit der Skalarmultiplikation

${\displaystyle \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})\times \Gamma {\left(U,{\widetilde {M}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(U,{\widetilde {M}}\right)},\,{\left({\left(g_{\mathfrak {p}}\right)}_{{\mathfrak {p}}\in U},{\left(s_{\mathfrak {p}}\right)}_{{\mathfrak {p}}\in U}\right)}\longmapsto {\left(g_{\mathfrak {p}}s_{\mathfrak {p}}\right)}_{{\mathfrak {p}}\in U},}$

zuordnet, und wobei jeder Inklusion ${\displaystyle {}U\subseteq V}$ die natürliche Projektion zugeordnet wird.