Stammfunktion/1 durch sinh/Aufgabe/Lösung

Es ist

${\displaystyle {}{\frac {1}{\sinh t}}={\frac {2}{e^{t}-e^{-t}}}\,.}$

Mit der Substitution ${\displaystyle {}t=\ln s}$ müssen wir eine Stammfunktion für

${\displaystyle {}{\frac {2}{s-s^{-1}}}\cdot {\frac {1}{s}}={\frac {2}{s^{2}-1}}={\frac {2}{(s-1)(s+1)}}={\frac {1}{s-1}}-{\frac {1}{s+1}}\,}$

finden. Eine solche ist

${\displaystyle \ln(s-1)-\ln(s+1).}$

Daher ist

${\displaystyle \ln(e^{t}-1)-\ln(e^{t}+1)}$

${\displaystyle {}{\frac {1}{\sinh t}}}$