Stammfunktion/x^2+1 durch x(x-1)(x-2)/Aufgabe/Lösung

Wir machen den Ansatz für die Partialbruchzerlegung, also

${\displaystyle {}{\frac {x^{2}+1}{x(x-1)(x-2)}}={\frac {\alpha }{x}}+{\frac {\beta }{x-1}}+{\frac {\gamma }{x-2}}\,.}$

Multiplikation mit dem Hauptnenner führt auf

${\displaystyle {}{\begin{aligned}x^{2}+1&=\alpha (x-1)(x-2)+\beta x(x-2)+\gamma x(x-1)\\&=\alpha (x^{2}-3x+2)+\beta (x^{2}-2x)+\gamma (x^{2}-x)\\&=x^{2}(\alpha +\beta +\gamma )+x(-3\alpha -2\beta -\gamma )+2\alpha .\end{aligned}}}$

Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich das lineare Gleichungssystem

${\displaystyle {}\alpha +\beta +\gamma =1\,,}$

${\displaystyle {}-3\alpha -2\beta -\gamma =0\,,}$

und

${\displaystyle {}2\alpha =1\,.}$

Addition der ersten beiden Gleichungen ergibt

${\displaystyle {}-2\alpha -\beta =1\,.}$

Also ist ${\displaystyle {}\alpha ={\frac {1}{2}}}$,

${\displaystyle {}\beta =-2\alpha -1=-2\,}$

und

${\displaystyle {}\gamma =1-\alpha -\beta ={\frac {5}{2}}\,.}$

Somit ist

${\displaystyle {}{\frac {x^{2}+1}{x(x-1)(x-2)}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{x}}-2\cdot {\frac {1}{x-1}}+{\frac {5}{2}}\cdot {\frac {1}{x-2}}\,}$

und eine Stammfunktion ist

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot \ln x-2\cdot \ln(x-1)+{\frac {5}{2}}\cdot \ln(x-2).}$