Starke Kontraktion/Verknüpfung/Aufgabe/Lösung

a) Es seien ${\displaystyle {}L_{1},L_{2}<1}$ die Kontraktionsfaktoren zu ${\displaystyle {}f}$ bzw. ${\displaystyle {}g}$. Dann ist für beliebige Punkte ${\displaystyle {}x,y\in M}$

${\displaystyle {}d(g(f(x)),g(f(y)))\leq L_{2}d(f(x),f(y))\leq L_{2}L_{1}d(x,y)\,}$

und somit kann man ${\displaystyle {}L_{1}L_{2}<1}$ als Kontraktionsfaktor für die Verknüpfung nehmen.

b) Wir betrachten die Abbildung

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {1}{2}}x,}$

die stark kontrahierend ist und den Fixpunkt ${\displaystyle {}0}$ besitzt, und die Abbildung

${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,y\longmapsto {\frac {1}{2}}y+1,}$

die ebenfalls stark kontrahierend ist und ${\displaystyle {}2}$ als Fixpunkt besitzt. Die Verknüpfung ${\displaystyle {}g\circ f}$ ist

${\displaystyle {}(g\circ f)(x)=g(f(x)=g{\left({\frac {1}{2}}x\right)}={\frac {1}{2}}{\left({\frac {1}{2}}x\right)}+1={\frac {1}{4}}x+1\,.}$

${\displaystyle {}{\frac {4}{3}}}$