Starke Kontraktion/Verknüpfung/Endlich/Aufgabe/Lösung

a) Es seien ${\displaystyle {}L_{1},L_{2}<1}$ die Kontraktionsfaktoren zu ${\displaystyle {}f}$ bzw. ${\displaystyle {}g}$. Dann ist für beliebige Punkte ${\displaystyle {}x,y\in M}$

${\displaystyle {}d(g(f(x)),g(f(y)))\leq L_{2}d(f(x),f(y))\leq L_{2}L_{1}d(x,y)\,}$

und somit kann man ${\displaystyle {}L_{1}L_{2}<1}$ als Kontraktionsfaktor für die Verknüpfung nehmen.

b) Wir betrachten die drei Punkte

${\displaystyle {}M=\{0,2,3\}\subset \mathbb {R} \,}$

mit dem reellen Abstand. Dies ist als abgeschlossene Teilmenge von ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$ ein vollständiger metrischer Raum. Wir betrachten die konstante Abbildung

${\displaystyle f=0}$

und ${\displaystyle {}g}$ mit

${\displaystyle g(0)=2,\,g(2)=g(3)=3.}$

Die konstante Abbildung ${\displaystyle {}f}$ ist eine starke Kontraktion (mit Kontraktionsfaktor ${\displaystyle {}0}$) und ${\displaystyle {}g}$ ist eine starke Kontraktion mit Kontraktionsfaktor ${\displaystyle {}{\frac {1}{2}}}$; es ist ja

${\displaystyle {}d(g(0),g(2))=d(2,3)=1\leq {\frac {1}{2}}2={\frac {1}{2}}d(0,2)\,,}$

${\displaystyle {}d(g(0),g(3))=d(2,3)=1\leq {\frac {1}{2}}3={\frac {1}{2}}d(0,3)\,,}$

und

${\displaystyle {}d(g(2),g(3))=d(3,3)=0\leq {\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}d(2,3)\,.}$

Der Fixpunkt von ${\displaystyle {}f}$ ist ${\displaystyle {}0}$ und der Fixpunkt von ${\displaystyle {}g}$ ist ${\displaystyle {}3}$. Dagegen ist

${\displaystyle {}(gf)(2)=g(f(2))=g(0)=2\,,}$

${\displaystyle {}2\neq 0,3}$