Stetige Funktion/Halbgerade/Lokales Nullteilerpaar/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Zerlegung von ${\displaystyle {}\mathbb {R} _{+}}$ in die unendlich vielen halboffenen Intervalle ${\displaystyle {}I_{n}=[{\frac {1}{n+1}},{\frac {1}{n}}[}$ für ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$ und ${\displaystyle {}I_{0}=[1,+\infty ]}$. Auf ${\displaystyle {}I_{n}}$, ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$, definieren wir die stetige Funktion ${\displaystyle {}\varphi _{n}}$ durch

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\varphi _{n}(x)&=-{\left(x-{\frac {1}{n+1}}\right)}{\left(x-{\frac {1}{n}}\right)}\\&=-x^{2}+{\frac {2n+1}{(n+1)n}}x-{\frac {1}{(n+1)n}}.\end{aligned}}}$

Diese Funktion hat an den Intervallgrenzen den Wert ${\displaystyle {}0}$. Die Ableitung ist

${\displaystyle -2x+{\frac {2n+1}{(n+1)n}},}$

das Maximum liegt also im arithmetischen Mittel der Intervallgrenzen vor und besitzt den Wert

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\varphi _{n}{\left({\frac {n+{\frac {1}{2}}}{(n+1)n}}\right)}&=-{\left({\frac {n+{\frac {1}{2}}}{(n+1)n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)}{\left({\frac {n+{\frac {1}{2}}}{(n+1)n}}-{\frac {1}{n}}\right)}\\&=-{\frac {\frac {1}{2}}{(n+1)n}}\cdot {\frac {-{\frac {1}{2}}}{(n+1)n}}\\&\leq {\frac {1}{n}}.\end{aligned}}}$

Mit Hilfe dieser Funktionen definieren wir

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0,\,{\text{falls }}x=0\,,\\0,\,{\text{falls }}x\in I_{n},n{\text{ ungerade}}\,,\\\varphi _{n}(x),\,{\text{falls }}x\in I_{n},n{\text{ gerade}},\,n\geq 2,\,\\0,\,{\text{falls }}x\geq 1\,,\end{cases}}}$

und

${\displaystyle g(x)={\begin{cases}0,\,{\text{falls }}x=0\,,\\\varphi _{n}(x),\,{\text{falls }}x\in I_{n},n{\text{ ungerade}}\,,\\0,\,{\text{falls }}x\in I_{n},n{\text{ gerade}},\,n\geq 2,\,\\0,\,{\text{falls }}x\geq 1\,.\end{cases}}}$

Diese Funktionen sind stetig: Dies ist im Innern der Intervalle klar; an den Intervallgrenzen liegt stets der Wert ${\displaystyle {}0}$ vor; für den Nullpunkt ergibt sich die Stetigkeit, da die Funktionen auf ${\displaystyle {}[0,{\frac {1}{n}}]}$ durch ${\displaystyle {}{\frac {1}{n}}}$ beschränkt sind. Offenbar ist ${\displaystyle {}fg=0}$ und für jedes ${\displaystyle {}\delta >0}$ sind weder ${\displaystyle {}f{|}_{[0,\delta ]}}$ noch ${\displaystyle {}g{|}_{[0,\delta ]}}$ die Nullfunktion.