Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Stetigkeitssequenzen

Betrachtet man das Topologisierungslemma für Algebren, so kann man der Stetigkeit der Verknüpfungen in der topologischen Algebra jeweils Ungleichungen zuordnen, die äquivalent zu dieser Stetigkeit sind. Z.B. sind bei der Addition im Gegensatz zur Dreieckungleichung einer Norm oder Halbnorm zwei verschiedene Gaugefunktionale beteiligt.

Bei diesen Ungleichungen gibt es zu jedem Gaugefunktional ${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$ ein ${\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }}$ mit

${\displaystyle \|x+y\|_{\alpha }\leq \|x\|_{\beta }+\|x\|_{\beta }\,{\mbox{ für alle }}x,y\in A}$

Zu diesem ${\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }}$ kann man wieder ${\displaystyle \|\cdot \|_{\gamma }}$ finden, für das dann wiederum die folgende Ungleichung gilt:

${\displaystyle \|x+y\|_{\beta }\leq \|x\|_{\gamma }+\|x\|_{\gamma }\,{\mbox{ für alle }}x,y\in A}$

Über diesen Mechanismus entstehen später Stetigkeitssequenzen von Gaugefunktionalen.

Analog kann man Stetigkeitssequenzen bzgl. der Multiplikation erzeugen, d.h. es gibt zu jedem Gaugefunktional ${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$ ein ${\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }}$ mit

${\displaystyle \|x\cdot y\|_{\alpha }\leq \|x\|_{\beta }\cdot \|x\|_{\beta }\,{\mbox{ für alle }}x,y\in A}$

Zu diesem ${\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }}$ kann man wieder ${\displaystyle \|\cdot \|_{\gamma }}$ finden, für das dann wiederum die folgende Ungleichung gilt:

${\displaystyle \|x\cdot y\|_{\beta }\leq \|x\|_{\gamma }\cdot \|x\|_{\gamma }\,{\mbox{ für alle }}x,y\in A}$

Über diesen Mechanismus entstehen später Stetigkeitssequenzen von Gaugefunktionalen.

In diesem Abschnitt wird die Existenz dieser Stetigkeitssequenzen nachgewiesen, die für die Topologisierung der Polynomalgebra von Bedeutung sind.

In einem System von Gaugefunktionalen ist es für die Argumentation in multiplikativen Zusammenhängen hilfreich, wenn man für die Gaugefunktional ${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$ voraussetzen könnte, dass man für das Einselement der Multiplikation ${\displaystyle e\in A}$ voraussetzen kann, dass ${\displaystyle \|e\|_{\alpha }>0}$ gilt für alle gilt. Ein Lemma zeigt, dass dies ohne Einschränkung möglich ist.

Sei ${\textstyle \left(A,\|\cdot \|_{I}\right)\in {\mathcal {T}}}$, dann gilt mit ${\textstyle \alpha ,\beta \in I}$:

$${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }\leq \|\cdot \|_{\beta }:\Longleftrightarrow \forall _{\displaystyle x\in A}:\|x\|_{\alpha }\leq \|x\|_{\beta }}$$

Analog definiert man den Fall ${\textstyle \geq ,<,>}$ und ${\textstyle =}$.

Sei ${\displaystyle (A,{\mathcal {T}})}$ eine topologische Algebra mit einem System ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ von ${\displaystyle p}$-Gaugefunktionalen. Auf der Indexmenge ${\textstyle {\mathcal {A}}}$ wird nun die folgende partielle Ordnung definiert:

$${\displaystyle \alpha \leq \beta :\Longleftrightarrow \left\|\cdot \right\|_{\alpha }\leq \left\|\cdot \right\|_{\beta }:\Longleftrightarrow \forall _{\displaystyle x\in A}\,:\,\,\left\|x\right\|_{\alpha }\leq \left\|x\right\|_{\beta }}$$

In topologischen Vektorräumen (und damit auch topologischen Algebren) gibt es eine Nullumgebungsbasis ${\displaystyle \{U_{\alpha }\,:\,\alpha \in {\mathcal {A}}\}}$ aus kreisförmigen Mengen ${\displaystyle U_{\alpha }}$. Die Kreisförmigkeiten liefert die absolute Homogenität der Gaugefunktionale. Um für die Gaugefunktional ${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$ ohne Einschränkung voraussetzen zu können, dass ${\displaystyle \|e\|_{\alpha }>0}$ für das Einselement der Multiplikation ${\displaystyle e\in A}$ gilt, müssen wir den Schnitt von kreisförmigen Nullumgebungen betrachten.

Sei ${\displaystyle (A,{\mathcal {T}})}$ eine topologische Algebra mit einem System ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ von ${\displaystyle p}$-Gaugefunktionalen. ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ heißt "unital positiv", wenn für das Einselement ${\displaystyle e_{A}\in A}$ der Multiplikation die folgende Eigenschaft gilt:

${\displaystyle \forall _{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}\,:\,\|e_{A}\|_{\alpha }>0}$

Sei ${\displaystyle (A,{\mathcal {T}})}$ eine Hausdorff'sche topologische Algebra, dann gibt es ein unital positves Gaugefunktionalsystem ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$, das die Topologie ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ erzeugt.

Wenn eine topologische Algebra ${\displaystyle (A,{\mathcal {T}})}$ ist Hausdorff'sche und für die beiden Elemente ${\displaystyle 0_{A},e_{A}\in A}$ mit ${\displaystyle 0_{A}\not =e}$ zwei Umgebungen ${\displaystyle U_{0}\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}$ und ${\displaystyle U_{1}\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(e_{A})}$ existieren mit ${\displaystyle U_{0}\cap U_{1}=\emptyset }$.

Da ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ eine Hausdorff-Topologie auf ${\displaystyle A}$ ist, gibt es zu ${\displaystyle U_{0}\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}$ ist, kann man aus der Nullmgebungsbasis ${\displaystyle \{U_{\alpha }\,:\,\alpha \in {\mathcal {A}}\}}$ aus kreisförmigen Mengen ein ${\displaystyle U_{\beta }\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}$ finden, für das ${\displaystyle U_{\beta }\subseteq U_{0}}$ gilt. Für ${\displaystyle U_{\beta }}$ ebenfalls ${\displaystyle U_{\beta }\cap U_{1}=\emptyset }$. Ferner ist der Schnitt von zwei kreisförmigen Mengen ${\displaystyle U_{\alpha },U_{\beta }\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}$ wieder kreisförmig (siehe Lemma über Schnitt von kreisförmigen Mengen).

Insgesamt definiert man nun eine neue Nullumgebungsbasis ${\displaystyle \{{\widehat {U}}_{\alpha }\,:\,\alpha \in {\mathcal {A}}\}}$ über ${\displaystyle {\widehat {U}}_{\alpha }:=U_{\alpha }\cap U_{\beta }\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}$ aus kreisförmigen Nullumgebungen, die die Topologie erzeugt, denn für alle ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ gilt:

• ${\displaystyle {\widehat {U}}_{\alpha }\subseteq U_{\alpha }}$ und damit wäre die von ${\displaystyle \{{\widehat {U}}_{\alpha }\,:\,\alpha \in {\mathcal {A}}\}}$ erzeugte Topologie feiner als die von ${\displaystyle \{U_{\alpha }\,:\,\alpha \in {\mathcal {A}}\}}$ und
• umgekehrt ist ${\displaystyle {\widehat {U}}_{\alpha }:=U_{\alpha }\cap U_{\beta }\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}$ eine Nullumgebung und dann gibt es für alle ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ ein ${\displaystyle \gamma \in {\mathcal {A}}}$ mit ${\displaystyle U_{\gamma }\subseteq {\widehat {U}}_{\alpha }}$, weil ${\displaystyle \{U_{\gamma }\,:\,\gamma \in {\mathcal {A}}\}}$ eine Nullumgebungsbasis von ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ist.

Wir betrachten nun die Minkowski-Funktionale ${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }:=P_{{\widehat {U}}_{\alpha }}}$. Da die ${\displaystyle {\widehat {U}}_{\alpha }:=U_{\alpha }\cap U_{\beta }\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}$ kreisförmig sind, sind die Minkowski-Funktionale absolut homogen und damit Gaugefunktionale. Ferner gilt für alle ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ die Bedingung ${\displaystyle e\notin {\widehat {U}}_{\alpha }}$ damit gilt sogar ${\displaystyle \|e_{A}\|_{\alpha }:=P_{{\widehat {U}}_{\alpha }}(e_{A})\geq 1>0}$. Damit folgt die Behauptung ${\displaystyle \Box }$

Sei ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {K}}}$ ist eine topologische Algebra der Klasse ${\textstyle {\mathcal {K}}}$. Eine Folge ${\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}\in \left(\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)^{\mathbb {N} _{0}}}$ von Gaugefunktionalen mit

• (Isotonie) ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{n}\leq \left\|\cdot \right\|_{n+1}}$ für alle ${\textstyle n\in \mathbb {N} _{0}}$
• (Subadditivtät) ${\textstyle \left\|x+y\right\|_{n}\leq S_{n}\cdot \left(\left\|x\right\|_{n+1}+\left\|y\right\|_{n+1}\right)}$ für alle ${\textstyle x,y\in A}$, ${\textstyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ und ${\textstyle S_{n}>0}$ heißt Stetigkeitssequenz der Addition in der Algebrenklasse ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ oder ${\textstyle {\mathcal {K}}_{\oplus }}$-Sequenz. ${\textstyle S_{n}}$ sind die Stetigkeitskonstanten der Addition.

Die ${\textstyle {\mathcal {K}}_{\oplus }}$-Sequenz nennt man normalisiert, falls ${\textstyle S_{n}=1}$ für alle ${\textstyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ gilt.

Die Stetigkeitskonstanten ${\displaystyle S_{n}}$ der Addition entstehen z.B. dann, wenn die Gaugefunktionale Quasihalbnormen sind (siehe auch Korrespondenzsatz p-Halbnormen). Bei lokalkonvexen Räumen oder pseudokonvexen Räumen kann man die Gaugefunktionale in einer ${\textstyle {\mathcal {K}}_{\oplus }}$-Sequenz gleich wählen (also ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{n}=\left\|\cdot \right\|_{n+1}}$ für alle ${\textstyle n\in \mathbb {N} _{0}}$. In lokalkonvexen Räumen ist dann auch jede ${\textstyle {\mathcal {K}}_{\oplus }}$-Sequenz auch normalisiert.

Sei ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {K}}}$ ist eine topologische Algebra der Klasse ${\textstyle {\mathcal {K}}}$. Eine Folge ${\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}\in \left(\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)^{\mathbb {N} _{0}}}$ von Gaugefunktionalen mit

• ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{n}\leq \left\|\cdot \right\|_{n+1}}$ für alle ${\textstyle n\in \mathbb {N} _{0}}$
• ${\textstyle \left\|x\cdot y\right\|_{n}\leq S_{n}\cdot \left\|x\right\|_{n+1}\cdot \left\|y\right\|_{n+1}}$ für alle ${\textstyle x,y\in A}$, ${\textstyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ und ${\textstyle S_{n}>0}$ heißt Stetigkeitssequenz der Multiplikation oder kurz ${\textstyle {\mathcal {K}}_{\odot }}$-Sequenz der Multiplikation und ${\textstyle S_{n}}$ sind die Stetigkeitskonstanten der Multiplikation.

Die ${\textstyle {\mathcal {K}}_{\odot }}$-Sequenz nennt man "normalisiert", falls ${\textstyle S_{n}=1}$ für alle ${\textstyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ gilt.

Durch ein induktive Definition über das Topologisierungslemma von Algebren, kann man zu einem gegebenen ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ das erste ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$-Funktional ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{0}:=\|\cdot \|_{\alpha }}$ definiert, so n ${\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$ heißt ${\textstyle M_{\mathcal {K}}}$-Sequenz zu ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\alpha }}$. Insgesamt wird man die topologischen Eigenschaften der Stetigkeit dann direkt über die Erhöhung des Index ausdrücken können und die ${\textstyle M_{\mathcal {K}}}$-Sequenzen kann man dann auf die Koeffizienten der Potenzreihenalgebra ${\textstyle {\overline {A[t]}}}$ als topologischen Abschluss einer Polynomalgebra mit Koeffizienten in ${\displaystyle A}$ anwenden.

${\textstyle M_{\mathcal {K}}}$-Sequenzen können wegen der Stetigkeit der Multiplikation zu jedem ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\alpha }\in \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ und für jede topologische Algebra konstruiert werden. Kann man umgekehrt zu jedem ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\alpha }}$ mit ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ eine ${\textstyle M_{\mathcal {K}}}$-Sequenz konstruieren, dann ist die Multiplikation auf der Algebra ${\textstyle A}$ stetig.

Im allgemeinen toplogischen Räumen wird man nur normalisierte ${\textstyle M_{\mathcal {K}}}$-Sequenzen betrachten, denn jede beliebige zu ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\alpha }}$ gewählte ${\textstyle {\mathcal {K}}}$-Sequenz kann durch eine normalisierte ${\textstyle {\mathcal {K}}}$-Sequenz ersetzen werden. Ist nämlich ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\alpha }\in \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ und ${\textstyle \lambda \geq 1}$, so ist auch ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\widetilde {\alpha }}:=\lambda \cdot \left\|\cdot \right\|_{\alpha }}$ ein ${\textstyle {\mathcal {K}}}$-Funktional, das für die Topologie ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ keine anderen offenen Mengen erzeugen kann als ${\displaystyle \left\|\cdot \right\|_{\alpha }}$. Damit verändert das Hinzufügen des Gaugefunktionals ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\widetilde {\alpha }}}$ zum Gaugefunktionalsystem ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ die Topologie ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ nicht. Die Stetigkeitskonstanten ${\textstyle S_{n}}$ werden erst später bei der Regularitätsdingung von Bedeutung sein, wenn zusätzliche algebraische Eigenschaften in den Stetigkeitssequenzen enthalten sind.

Sei ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {K}}}$ ist eine topologische Algebra der Klasse ${\textstyle {\mathcal {K}}}$. Eine Folge ${\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}\in \left(\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)^{\mathbb {N} _{0}}}$ von Gaugefunktionalen mit

• ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{n}\leq \left\|\cdot \right\|_{n+1}}$ für alle ${\textstyle n\in \mathbb {N} _{0}}$
• ${\textstyle \left\|x\cdot y\right\|_{n}\leq S_{n}\cdot \left\|x\right\|_{n+1}\cdot \left\|y\right\|_{n+1}}$ für alle ${\textstyle x,y\in A}$,
• ${\textstyle \left\|x+y\right\|_{n}\leq S_{n}\cdot \left(\left\|x\right\|_{n+1}+\left\|y\right\|_{n+1}\right)}$ für alle ${\textstyle x,y\in A}$,

${\textstyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ und ${\textstyle S_{n}>0}$ heißt Stetigkeitssequenz kurz ${\textstyle {\mathcal {K}}}$-Sequenz und ${\textstyle S_{n}}$ sind die Stetigkeitskonstanten der Addition und Multiplikation. Die ${\textstyle {\mathcal {K}}}$-Sequenz nennt man "normalisiert", falls ${\textstyle S_{n}=1}$ für alle ${\textstyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ gilt.

In einer topologischen Algebra ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {K}}}$ existiert zu jedem ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ eine unital positive ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$-Stetigkeitsequenz in einem ggf. erweiterten Gaugefunktionalsystem ${\displaystyle \left\|\cdot \right\|_{\widetilde {\mathcal {A}}}}$

${\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{n}^{(\alpha )}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}\in \left(\left\|\cdot \right\|_{\widetilde {\mathcal {A}}}\right)^{\mathbb {N} _{0}}\,\,\,{\mbox{ mit }}\,\,\,\left\|\cdot \right\|_{0}^{(\alpha )}:=\left\|\cdot \right\|_{\alpha }.}$

Nutzen Sie das Topologisierungslemma für topologische Algebren um die Aussage als Übungsaufgabe zu zeigen. Ergänzen Sie dazu die fehlenden Schritte in dem folgenden Beweisrumpf:

In der topologischen Algebra ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {K}}}$ sei ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ beliebig gewählt. Die Stetigkeitsequenz wird induktiv definiert und setzen für ${\displaystyle n=0}$:

$${\displaystyle \left\|\cdot \right\|_{0}^{(\alpha )}:=\left\|\cdot \right\|_{\alpha }.}$$

Für pseudokonvexe Algebren ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {PC}}}$ sei ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ ein System von Quasihalbnormen. Falls ${\displaystyle A}$ mit einem System von ${\displaystyle p}$-homogenen Gaugefunktionalsystem topologisiert wurde, ersetzen wir ohne Einschränkung das System der ${\displaystyle p}$-Halbnormen durch ein äquivalentes System von Quasihalbnormen, das die gleiche Topologie erzeugt (siehe Korrespondenzsatz p-Halbnormen und Quasihalbnormen).

${\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{n}^{(\alpha )}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}\in \left(\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)^{\mathbb {N} _{0}}\,\,\,{\mbox{ mit }}\,\,\,\left\|\cdot \right\|_{0}^{(\alpha )}:=\left\|\cdot \right\|_{\alpha }.}$

Sei ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {K}}_{e}}$. Wir definieren nun zu jedem ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ eine Folge von Gaugefunktionalen ${\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{n}^{(\alpha )}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$. Das Gaugefunktionalsystem sei ohne Einschränkung unital positiv. Die folgenden Berechnungen betrachten einige Abschlätzung bzgl. einer Folge von Gaugefunktionalen. Diese führen in den grundlegenden Umgang mit solchen Sequenzen von Gaugefunktionalen und Standardwerkzeugen zur Abschätzung ein.

Da das Gaugefunktionalsystem nach Voraussetzung unital positiv ist, gilt ${\displaystyle \left\|e_{A}\right\|_{\alpha }>0}$ für alle ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$. Für eine normalisierte ${\textstyle M_{\mathcal {K}}}$-Sequenz zu ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\alpha }\in \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ definieren wir als ersten Gaugefunktional ${\displaystyle \left\|\cdot \right\|_{0}^{(\alpha )}:={\frac {1}{\left\|e_{A}\right\|_{\alpha }}}\cdot \left\|\cdot \right\|_{\alpha }}$. Damit gilt:

${\displaystyle \left\|e_{A}\right\|_{0}^{(\alpha )}:={\frac {1}{\left\|e_{A}\right\|_{\alpha }}}\cdot \left\|e_{A}\right\|_{\alpha }=1}$.

Sei nun ${\textstyle \left\|x\right\|_{n}^{(\alpha )}}$ bereits induktiv definiert. Dann gibt es mit der Stetigkeit der Multiplikation in der topologischen Algebra ${\displaystyle (A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})}$ ein ${\displaystyle \beta \in {\mathcal {A}}}$, für das gilt:

${\displaystyle \forall _{\displaystyle xy\in A}\,:\,\left\|x\cdot y\right\|_{n}^{(\alpha )}\leq \left\|x\right\|_{\beta }\cdot \left\|y\right\|_{\beta }}$

Ferner sei ohne Einschränkung ${\displaystyle \|\cdot \|_{n}^{(\alpha )}\leq \|\cdot \|_{\beta }}$. Falls das nicht der Fall wäre ersetzt man ${\displaystyle U_{\beta }}$ durch ein Minkowski-Funktional der kreisförmigen Nullumgebung ${\displaystyle U_{n}^{(\alpha )}\cap U_{\beta }}$ mit ${\displaystyle U_{\beta }:=B_{1}^{\beta }(0_{A})}$ und ${\displaystyle U_{n}^{(\alpha )}:=\{x\in A\,:\,\|x\|_{n}^{(\alpha )}<1\}}$.

Sei nun ${\textstyle \left\|x\right\|_{n}^{(\alpha )}}$ bereits induktiv definiert. Wir betrachten nun die Teilmenge ${\textstyle e\in T_{n}\subset A}$ mit ${\displaystyle T_{n}:=\{s\in A\,:\,\left\|s\right\|_{\beta }>0\}.}$ Über diese Mengen definieren man Supremumsgaugefunktionale der Form

$${\displaystyle \left\|x\right\|_{n+1}^{(\alpha )}:=\left\|e_{A}\right\|_{\beta }\cdot \sup _{s\in T_{n}}\left\|{\frac {s}{\left\|s\right\|_{\beta }}}\cdot x\right\|_{n}^{(\alpha )}{\mbox{ für alle }}x\in A}$$

Unter Anwendung der absoluten Homogenität von ${\displaystyle \left\|\cdot \right\|_{n}^{(\alpha )}}$ erhält man:

$${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\left\|e_{A}\right\|_{n+1}^{(\alpha )}&=&\left\|e_{A}\right\|_{\beta }\cdot \displaystyle \sup _{s\in T_{n}}\left\|{\frac {s}{\left\|s\right\|_{\beta }}}\cdot e_{A}\right\|_{n}^{(\alpha )}=\left\|e_{A}\right\|_{\beta }\cdot \displaystyle \sup _{s\in T_{n}}\left\|{\frac {s}{\left\|s\right\|_{\beta }}}\right\|_{n}^{(\alpha )}\\&=&\left\|e_{A}\right\|_{\beta }\cdot \displaystyle \sup _{s\in T_{n}}\underbrace {{\frac {1}{\left\|s\right\|_{\beta }}}\cdot \left\|s\right\|_{n}^{(\alpha )}} _{\leq 1}\leq \left\|e_{A}\right\|_{\beta }\end{array}}}$$

Ferner wurde ${\displaystyle \left\|s\right\|_{n}^{(\alpha )}\leq \left\|s\right\|_{\beta }}$ für die "${\displaystyle \leq }$"-Abschätzung verwendet.

Unter Anwendung der absoluten Homogenität von ${\displaystyle \left\|\cdot \right\|_{n}^{(\alpha )}}$ erhält man:

$${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\left\|e_{A}\right\|_{n+1}^{(\alpha )}&=&\left\|e_{A}\right\|_{\beta }\cdot \displaystyle \sup _{s\in T_{n}}\left\|{\frac {s}{\left\|s\right\|_{\beta }}}\cdot e_{A}\right\|_{n}^{(\alpha )}\\&\geq &\left\|e_{A}\right\|_{\beta }\cdot \left\|{\frac {e_{A}}{\left\|e_{A}\right\|_{\beta }}}\cdot e_{A}\right\|_{n}^{(\alpha )}=\left\|e_{A}\right\|_{\beta }\cdot \left\|{\frac {e_{A}}{\left\|e_{A}\right\|_{\beta }}}\right\|_{n}^{(\alpha )}\\&=&\left\|e_{A}\right\|_{\beta }\cdot {\frac {\left\|e_{A}\right\|_{n}^{(\alpha )}}{\left\|e_{A}\right\|_{\beta }}}=\left\|e_{A}\right\|_{n}^{(\alpha )}\end{array}}}$$

Unter Anwendung der absoluten Homogenität von ${\displaystyle \left\|\cdot \right\|_{n}^{(\alpha )}}$ erhält man analog für beliebige ${\displaystyle x\in A}$:

$${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\left\|x\right\|_{n+1}^{(\alpha )}&=&\left\|e_{A}\right\|_{\beta }\cdot \displaystyle \sup _{s\in T_{n}}\left\|{\frac {s}{\left\|s\right\|_{\beta }}}\cdot x\right\|_{n}^{(\alpha )}\\&\geq &\left\|e_{A}\right\|_{\beta }\cdot \left\|{\frac {e_{A}}{\left\|e_{A}\right\|_{\beta }}}\cdot x\right\|_{n}^{(\alpha )}{\mbox{ weil }}e_{A}\in T_{n}\\&=&\left\|e_{A}\right\|_{\beta }\cdot \left\|{\frac {x}{\left\|e_{A}\right\|_{\beta }}}\right\|_{n}^{(\alpha )}=\left\|x\right\|_{n}^{(\alpha )}\end{array}}}$$

Unter Anwendung der absoluten Homogenität von ${\displaystyle \left\|\cdot \right\|_{n}^{(\alpha )}}$ erhält man analog für beliebige ${\displaystyle x\in A}$:

$${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\left\|x\right\|_{n+1}^{(\alpha )}&=&\left\|e_{A}\right\|_{\beta }\cdot \displaystyle \sup _{s\in T_{n}}\left\|{\frac {s}{\left\|s\right\|_{\beta }}}\cdot x\right\|_{n}^{(\alpha )}\\&\leq &\left\|e_{A}\right\|_{\beta }\cdot \displaystyle \sup _{s\in T_{n}}\left\|{\frac {s}{\left\|s\right\|_{\beta }}}\right\|_{\beta }\cdot \left\|x\right\|_{\beta }=\left\|e_{A}\right\|_{\beta }\cdot \left\|x\right\|_{\beta }\\\end{array}}}$$

Für ${\displaystyle y\in T_{n}}$ erhält man:

$${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\left\|x\cdot y\right\|_{n}^{(\alpha )}&\leq &\|y\|_{\beta }\cdot \left\|x\cdot {\frac {y}{\|y\|_{\beta }}}\right\|_{n}^{(\alpha )}\\&\leq &\|y\|_{\beta }\cdot \displaystyle \sup _{s\in T_{n}}\left\|{\frac {s}{\left\|s\right\|_{\beta }}}\cdot x\right\|\\&=&\|y\|_{\beta }\cdot {\frac {1}{\|e_{A}\|_{\beta }}}\cdot \|e_{A}\|_{\beta }\cdot \displaystyle \sup _{s\in T_{n}}\left\|{\frac {s}{\left\|s\right\|_{\beta }}}\cdot x\right\|\\&=&\|y\|_{\beta }\cdot {\frac {1}{\|e_{A}\|_{\beta }}}\cdot \|x\|_{n+1}^{(\alpha )}\end{array}}}$$

Wegen ${\textstyle \left\|e_{A}\right\|_{n}^{(\alpha )}\leq \left\|e_{A}\right\|_{\beta }\cdot \left\|e_{A}\right\|_{\beta }={\left\|e_{A}\right\|_{\beta }}^{2}}$ gilt damit auch ${\displaystyle \left\|e_{A}\right\|_{\beta }\geq {\sqrt {\left\|e_{A}\right\|_{n}^{(\alpha )}}}>0}$.

Zwei Systeme ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{I}}$ und ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\widetilde {I}}}$ auf einem topologischen Vektorraum ${\textstyle V}$ heißen äquivalent (Bezeichnung: ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{I}\equiv \left\|\cdot \right\|_{\widetilde {I}}}$), falls gilt:

$${\displaystyle {\begin{array}{ll}\forall _{\displaystyle \alpha \in I}\exists _{\displaystyle {\widetilde {\alpha }}\in {\widetilde {I}},C_{\alpha }>0}:&\left\|\cdot \right\|_{\alpha }\leq C_{\alpha }\cdot \left\|\cdot \right\|_{\widetilde {\alpha }}{\mbox{ und}}\\\forall _{\displaystyle {\widetilde {\alpha }}\in {\widetilde {I}}}\exists _{\displaystyle \alpha \in I,C_{\widetilde {\alpha }}>0}:&\left\|\cdot \right\|_{\widetilde {\alpha }}\leq C_{\widetilde {\alpha }}\cdot \left\|\cdot \right\|_{\alpha }\\\end{array}}}$$

Äquivalente Systeme erzeugen die gleiche Topologie. Wenn man ein gerichtetes System und ein festes ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ gegeben hat und als weitere Indexmenge ${\textstyle {\widetilde {\mathcal {A}}}:=\{\beta \in {\mathcal {A}}:\beta \geq \alpha \}}$ definiert, dann sind ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ und ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\widetilde {\mathcal {A}}}}$ äquivalente Systeme.

Sei ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {T}}}$ eine topologische Algebra und ${\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{n}^{(\alpha )}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$, ${\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{n}^{(\beta )}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$ zwei Folgen von Gaugefunktionalen in ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$.Dann definiert man:

$${\displaystyle \left(\left\|\cdot \right\|_{n}^{(\alpha )}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}\leq \left(\left\|\cdot \right\|_{n}^{(\beta )}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}:\Longleftrightarrow \forall _{\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}:\left\|\cdot \right\|_{n}^{(\alpha )}\leq \left\|\cdot \right\|_{n}^{(\beta )}}$$

Sei ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {T}}}$ eine topologische Algebra und

$${\displaystyle {\tilde {\cdot }}:{\mathcal {A}}\times \mathbb {N} _{0}\longrightarrow {\mathcal {A}}{\mbox{ mit }}(\alpha ,n)\longmapsto {\widetilde {(\alpha ,n)}}}$$

sei eine Abbildung, dann gibt es für alle ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\alpha }\in \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ eine normalisierte ${\textstyle {\mathcal {K}}}$-Sequenz ${\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,n)}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$ mit

$${\displaystyle \left(\left\|\cdot \right\|_{\widetilde {(\alpha ,n)}}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}\leq \left(\left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,n+1)}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}.}$$

Sei ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,0)}:=\left\|\cdot \right\|_{\alpha }}$ und ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,n)}}$ sei bereits induktiv definiert, dann erhält man ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,n+1)}}$ wie folgt:

Wegen der Stetigkeit der Multiplikation gibt es ein ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\beta }\in \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ mit

$${\displaystyle \forall _{\displaystyle x,y\in A}:\left\|x\cdot y\right\|_{(\alpha ,n)}\leq \left\|x\right\|_{\beta }\cdot \left\|y\right\|_{\beta }.}$$

Da ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ gerichtet ist, gibt es ein Funktional ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,n+1)}\in \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ mit

$${\displaystyle \left\|\cdot \right\|_{\widetilde {(\alpha ,n)}}\leq \left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,n+1)}{\mbox{ und }}\left\|\cdot \right\|_{\beta }\leq \left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,n+1)}.}$$

Damit folgt die Behauptung durch Induktion über ${\textstyle n}$. ${\displaystyle \Box }$

• Normen, Metriken, Topologie
• Topologisierungslemma für topologische Algebren
• Isotonie von Stetigkeitssequenzen

Diese Lernresource können Sie als Wiki2Reveal-Foliensatz darstellen.

Dieser Wiki2Reveal Foliensatz wurde für den Lerneinheit Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien' erstellt der Link für die Wiki2Reveal-Folien wurde mit dem Wiki2Reveal-Linkgenerator erstellt.

• Die Seite wurde als Dokumententyp PanDocElectron-SLIDE erstellt.
• Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Stetigkeitssequenzen
• siehe auch weitere Informationen zu Wiki2Reveal und unter Wiki2Reveal-Linkgenerator.