Stochastische Matrix/Determinante/Verhalten/Aufgabe

Wir wollen Aussagen über die Determinante einer spaltenstochastischen ${\displaystyle {}d\times d}$-Matrix machen.

a) Zeige, dass für die Determinante einer spaltenstochastischen Matrix ${\displaystyle {}M}$ die Beziehung

${\displaystyle {}\vert {\det M}\vert \leq 1\,}$

gilt.

b) Man gebe ein Beispiel für eine spaltenstochastische Matrix, die nicht die Einheitsmatrix sei, mit

${\displaystyle {}\vert {\det M}\vert =1\,}$

c) Es sei ${\displaystyle {}d\geq 2}$ und ${\displaystyle {}M}$ besitze zusätzlich die Eigenschaft, dass es eine Zeile mit ausschließlich positiven Einträgen gebe. Zeige

${\displaystyle {}\vert {\det M}\vert <1\,}$