Symmetrische Gruppe/Polynomring/Fixringe der Untergruppen/Aufgabe

Betrachte die Operation der symmetrischen Gruppe ${\displaystyle {}S_{n}}$ auf dem Polynomring ${\displaystyle {}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ über einem Körper ${\displaystyle {}K}$. Bestimme (zu ${\displaystyle {}n=2,3,4}$) für jede Untergruppe ${\displaystyle {}H\subseteq S_{n}}$ den Fixring ${\displaystyle {}R^{H}}$.