Symmetrisches Polynom/Definition

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper. Ein Polynom ${\displaystyle {}f\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ heißt symmetrisch, wenn für jede Permutation ${\displaystyle {}\sigma \in S_{n}}$ die Gleichheit

${\displaystyle {}f=f^{\sigma }\,}$

besteht, wobei ${\displaystyle {}f^{\sigma }}$ aus ${\displaystyle {}f}$ entsteht, indem man überall in ${\displaystyle {}f}$ die Variable ${\displaystyle {}X_{i}}$ durch ${\displaystyle {}X_{\sigma (i)}}$ ersetzt.