Tangentialraum/R/Faser/Kurvenrealisierung/Aufgabe/Lösung

Es ist ${\displaystyle {}v\in T_{P}Z=\operatorname {kern} \left(D\varphi \right)_{P}}$. Nach dem Satz über implizite Abbildungen gibt es eine offene Menge ${\displaystyle {}P\in W}$, ${\displaystyle {}W\subseteq G}$, eine offene Menge ${\displaystyle {}V\subseteq \mathbb {R} ^{n-m}}$ und eine stetig differenzierbare Abbildung

${\displaystyle \psi \colon V\longrightarrow W}$

derart, dass ${\displaystyle {}\psi (V)\subseteq Z\cap W}$ ist und ${\displaystyle {}\psi }$ eine Bijektion

${\displaystyle \psi \colon V\longrightarrow Z\cap W}$

induziert. Es sei ${\displaystyle {}Q\in V}$ der Punkt mit ${\displaystyle {}\psi (Q)=P}$. Die Abbildung ${\displaystyle {}\psi }$ ist in jedem Punkt ${\displaystyle {}Q\in V}$ regulär und für das totale Differential von ${\displaystyle {}\psi }$ gilt

${\displaystyle {}\left(D\varphi \right)_{P}\circ \left(D\psi \right)_{Q}=0\,,}$

also

${\displaystyle {}\operatorname {bild} \left(D\psi \right)_{Q}=\operatorname {kern} \left(D\varphi \right)_{P}=T_{P}Y\,.}$

Wegen der Regularität von ${\displaystyle {}\psi }$ in ${\displaystyle {}Q}$ ist

${\displaystyle \left(D\psi \right)_{Q}\colon \mathbb {R} ^{n-m}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}}$

injektiv und

${\displaystyle \left(D\psi \right)_{Q}\colon \mathbb {R} ^{n-m}\longrightarrow T_{P}Y}$

bijektiv. Es sei ${\displaystyle {}u\in \mathbb {R} ^{n-m}}$ das Urbild von ${\displaystyle {}v}$ und sei

${\displaystyle \theta \colon ]-\epsilon ,\epsilon [\longrightarrow \mathbb {R} ^{n-m},\,t\longmapsto Q+tu,}$

wobei ${\displaystyle {}\epsilon }$ hinreichend klein gewählt sei, dass das Bild ganz in ${\displaystyle {}V}$ liegt. Dann besitzt

${\displaystyle \gamma =\psi \circ \theta \colon ]-\epsilon ,\epsilon [\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}}$

die Eigenschaft

${\displaystyle {}\gamma (0)=\psi (\theta (0))=\psi (Q)=P\,}$

und

${\displaystyle {}\gamma '(0)=\left(D\psi \right)_{Q}(\theta '(0))=\left(D\psi \right)_{Q}(u)=v\,.}$