Teilbarkeitstheorie/Bereich/Prim ist irreduzibel/Fakt/Beweis

Angenommen, wir haben eine Zerlegung ${\displaystyle {}p=ab}$. Wegen der Primeigenschaft teilt ${\displaystyle {}p}$ einen Faktor, sagen wir ${\displaystyle {}a=ps}$. Dann ist ${\displaystyle {}p=psb}$ bzw. ${\displaystyle {}p(1-sb)=0}$. Da ${\displaystyle {}p}$ kein Nullteiler ist, folgt ${\displaystyle {}1=sb}$, sodass also ${\displaystyle {}b}$ eine Einheit ist.