Teilbarkeitstheorie (Z)/Primzahl erfüllt Primelementeigenschaft/Fakt/Beweis2

Wir führen den Beweis durch Kontraposition. D.h. wir setzen voraus, dass weder ${\displaystyle {}a}$ noch ${\displaystyle {}b}$ ein Vielfaches von ${\displaystyle {}p}$ ist, und müssen zeigen, dass dann auch das Produkt ${\displaystyle {}ab}$ kein Vielfaches von ${\displaystyle {}p}$ sein kann. Unter der gegebenen Voraussetzung sind ${\displaystyle {}a}$ und ${\displaystyle {}p}$ und ${\displaystyle {}b}$ und ${\displaystyle {}p}$ jeweils teilerfremd. Nach Fakt gibt es ganze Zahlen ${\displaystyle {}r,s,m,n}$ mit

${\displaystyle {}ra+sp=1\,}$

und

${\displaystyle {}mb+np=1\,.}$

Daher ist

${\displaystyle {}1=1\cdot 1=(ra+sp)(mb+np)=rmab+p(ran+smb+snp)\,.}$

Wenn nun ${\displaystyle {}p}$ ein Teiler von ${\displaystyle {}ab}$ wäre, so könnte man

${\displaystyle {}rmab=pc\,}$

schreiben und dann wäre ${\displaystyle {}1}$ ein Vielfaches von ${\displaystyle {}p}$, was natürlich nicht der Fall ist.