Teilmenge/Permutation/Fortsetzen/Gruppenhomomorphismus/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}M}$ eine endliche Menge und ${\displaystyle {}T\subseteq M}$ eine Teilmenge, und es seien ${\displaystyle {}\operatorname {Perm} \,(T)}$ und ${\displaystyle {}\operatorname {Perm} \,(M)}$ die zugehörigen Permutationsgruppen. Zeige, dass durch

${\displaystyle \Psi \colon \operatorname {Perm} \,(T)\longrightarrow \operatorname {Perm} \,(M),\,\varphi \longmapsto {\tilde {\varphi }},}$

mit

${\displaystyle {}{\tilde {\varphi }}(x)={\begin{cases}\varphi (x),\,{\text{falls }}x\in T,\\x{\text{ sonst}},\end{cases}}\,}$

ein injektiver Gruppenhomomorphismus gegeben ist.