Topologie/Überlagerungen/Faser/Fakt/Beweis

Es sei zunächst ${\displaystyle {}p\colon E\rightarrow X}$ eine beliebige Überlagerung und ${\displaystyle {}U_{i}}$, ${\displaystyle {}i\in I}$, eine Überdeckung von ${\displaystyle {}X}$, über der die Überlagerung trivialisiert. Für ${\displaystyle {}x,y\in U_{i}}$ ist

${\displaystyle {}p^{-1}(x)\cong F_{i}\cong p^{-1}(y)\,.}$

Es sei nun ${\displaystyle {}X}$ zusammenhängend, ${\displaystyle {}x\in X}$ fixiert und

${\displaystyle {}T:={\left\{y\in X\mid p^{-1}(y)\cong p^{-1}(x)\right\}}\neq \emptyset \,.}$

Dann ist ${\displaystyle {}T}$ offen, denn es enthält zu jedem seiner Punkte noch eine offene Umgebung, über der ${\displaystyle {}p}$ trivialisiert. Aus dem gleichen Grund ist aber auch ${\displaystyle {}X\setminus T}$ offen. Da ${\displaystyle {}X}$ zusammenhängend ist, gilt ${\displaystyle {}T=X}$.