Topologischer Raum/Überdeckungen/Gemeinsame Verfeinerung/Aufgabe

Es seien

${\displaystyle {}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}=\bigcup _{j\in J}V_{j}\,}$

offene Überdeckungen eines topologischen Raumes ${\displaystyle {}X}$. Zeige, dass

${\displaystyle {}W_{ij}:=U_{i}\cap V_{j}\,}$

mit der Indexmenge ${\displaystyle {}I\times J}$ eine gemeinsame Verfeinerung der beiden Überdeckungen ist.