Topologischer Raum/Garbe/Ausbreitungsraum/Schnitt/Fakt/Beweis

Wir betrachten die natürliche Abbildung

${\displaystyle \Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow {\left\{h:U\rightarrow p^{-1}(U){\text{ stetig}}\mid p\circ h=\operatorname {Id} _{U}\right\}},}$

die einem ${\displaystyle {}s\in \Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}}$ die Abbildung

${\displaystyle h\colon U\longrightarrow p^{-1}(U),\,x\longmapsto (x,s_{x}),}$

zuordnet. Die Abbildung ${\displaystyle {}h}$ ist stetig, es liegt eine Homöomorphie zu ${\displaystyle {}(U,s)}$ vor. Die Injektivität der Gesamtabbildung folgt aus Fakt. Zum Nachweis der Surjektivität sei ein stetiges ${\displaystyle {}h}$ gegeben. Es wird also jedem Punkt ${\displaystyle {}x\in U}$ ein ${\displaystyle {}h(x)\in {\mathcal {G}}_{x}}$ in stetiger Weise zugeordnet. Sei ${\displaystyle {}x\in U}$ und es sei ${\displaystyle {}x\in V\subseteq U}$ eine offene Umgebung, auf der ${\displaystyle {}h(x)}$ durch den Schnitt ${\displaystyle {}s\in \Gamma {\left(V,{\mathcal {G}}\right)}}$ repräsentiert werde. Dann ist ${\displaystyle {}(V,s)}$ eine offene Umgebung von ${\displaystyle {}(x,h(x))}$ in ${\displaystyle {}{\mathcal {G}}^{\operatorname {et} }}$. Wegen der Stetigkeit von ${\displaystyle {}h}$ ist

${\displaystyle {}U_{x}:=h^{-1}(V,s)={\left\{y\in U\mid h(y)\in V,\,s_{y}=h(y)\right\}}\,}$

offen in ${\displaystyle {}X}$. D.h. dass auf der offenen Umgebung ${\displaystyle {}U_{x}}$ von ${\displaystyle {}x}$ die Abbildung durch einen Schnitt der Garbe über ${\displaystyle {}U_{x}}$ gegeben ist. Die Abbildung ${\displaystyle {}h}$ wird also lokal um jeden Punkt durch einen Garbenschnitt repräsentiert und diese sind zueinander verträglich, da sie ja punktweise durch ${\displaystyle {}h}$ gegeben sind. Aufgrund der Definition einer Garbe rühren diese lokalen Schnitte von einem globalen Garbenschnitt über ${\displaystyle {}U}$ her.