Torricelli/Ausflussgesetz/Differentialgleichung/Aufgabe/Lösung

${\displaystyle {}h'(t)=dv(t)=-cd{\sqrt {h(t)}}\,.}$

${\displaystyle {}h'=-{\sqrt {h}}=-h^{\frac {1}{2}}\,.}$

Eine Stammfunktion von ${\displaystyle {}-h^{-{\frac {1}{2}}}}$ ist ${\displaystyle {}-2h^{\frac {1}{2}}}$, aus dem Ansatz

${\displaystyle {}z=-2h^{\frac {1}{2}}\,}$

ergibt sich die Umkehrfunktion

${\displaystyle {}h={\frac {z^{2}}{4}}\,.}$

Daher sind die Lösungen gleich (${\displaystyle {}z}$ ist negativ)

${\displaystyle {}h(t)={\frac {(-t-\alpha )^{2}}{4}}\,.}$

Aus der Anfangsbedingung

${\displaystyle {}h(0)={\frac {\alpha ^{2}}{4}}=1\,}$

folgt

${\displaystyle {}\alpha =-2\,}$

(es ist das negative Vorzeichen zu wählen, da die Höhe positiv sein muss). Die Lösungsfunktion ist also

${\displaystyle {}h(t)={\frac {(2-t)^{2}}{4}}\,,}$

wobei dies ab ${\displaystyle {}t\geq 0}$ bis zu dem Zeitpunkt gilt, wo die Tonnen leer wird.