Totale Differenzierbarkeit/Gradient/Definition

Es sei ${\displaystyle {}(V,\left\langle -,-\right\rangle )}$ ein euklidischer Vektorraum, ${\displaystyle {}G\subseteq V}$ offen und

${\displaystyle f\colon G\longrightarrow \mathbb {R} }$

eine in ${\displaystyle {}P\in G}$ differenzierbare Funktion. Dann nennt man den eindeutig bestimmten Vektor ${\displaystyle {}w\in V}$ mit

${\displaystyle {}{\left(Df\right)}_{P}{\left(v\right)}=\left\langle w,v\right\rangle \,}$

für alle ${\displaystyle {}v\in V}$ den Gradienten von ${\displaystyle {}f}$ in ${\displaystyle {}P}$. Er wird mit

${\displaystyle \operatorname {Grad} \,f(P)}$

bezeichnet.