Trigonometrische Parametrisierung/Tangentialabbildung/Surjektiv/Aufgabe/Lösung

Die Abbildung ${\displaystyle {}\varphi }$ ist surjektiv, es ist also lediglich zu zeigen, dass für jedes ${\displaystyle {}t\in \mathbb {R} }$ die lineare Tangentialabbildung

${\displaystyle T_{t}\mathbb {R} \cong \mathbb {R} \longrightarrow T_{\varphi (t)}S^{1}}$

surjektiv ist. Da beide Räume eindimensional sind, muss gezeigt werden, dass ein von ${\displaystyle {}0}$ verschiedener Vektor nicht auf ${\displaystyle {}0}$ geht. Ein Tangentialvektor an ${\displaystyle {}t}$ wird realisiert durch den differenzierbaren Weg

${\displaystyle \gamma \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,s\longmapsto t+s.}$

Der verknüpfte Weg

${\displaystyle \varphi \circ \gamma \colon \mathbb {R} \longrightarrow S^{1},\,s\longmapsto (\cos(t+s),\sin(t+s)),}$

realisiert den Bild-Tangentialvektor, und zwar ist (in der umgebenden Ebene ${\displaystyle {}T_{\varphi (t)}S^{1}\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$)

${\displaystyle {}(\varphi \circ \gamma )'(0)=(-\sin t,\cos t)\,,}$