Ungerichteter Graph/Geometrische Realisierung/R^n/Definition

Es sei ${\displaystyle {}G=(V,E)}$ ein Graph. Eine (überschneidungsfreie) geometrische Realisierung von ${\displaystyle {}G}$ im ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{d}}$ besteht aus folgenden Daten.

1. Eine injektive Abbildung

   ${\displaystyle V\longrightarrow \mathbb {R} ^{d},\,v\longmapsto P_{v},}$

   zu jedem Knotenpunkt ${\displaystyle {}v\in V}$ gibt es also einen Punkt ${\displaystyle {}P_{v}\in \mathbb {R} ^{d}}$ und verschiedene Knotenpunkte besitzen verschiedene Realisierungen ${\displaystyle {}P_{v}}$.

2. Zu jeder Kante ${\displaystyle {}L=\{u,v\}\in E}$ eine injektive stetige Abbildung

   ${\displaystyle \varphi _{L}\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{d}}$

   mit ${\displaystyle {}\varphi _{L}(0)=P_{u}}$ und ${\displaystyle {}\varphi _{L}(1)=P_{v}}$.

3. Für verschiedene Kanten ${\displaystyle {}L\neq L'}$ ist

   ${\displaystyle {}\varphi _{L}(]0,1[)\cap \varphi _{L'}(]0,1[)=\emptyset \,.}$