Untergruppe/Kommutativ/Typische Beispiele/Nebenklassen/Aufgabe

Bestimme die Nebenklassen zu den folgenden Untergruppen von kommutativen Gruppen.
a) ${\displaystyle {}(\mathbb {Z} ,0,+)\subseteq (\mathbb {R} ,0,+)}$.
b) ${\displaystyle {}(\mathbb {Q} ,0,+)\subseteq (\mathbb {R} ,0,+)}$.
c) ${\displaystyle {}(\mathbb {R} ,0,+)\subseteq ({\mathbb {C} },0,+)}$.
d) ${\displaystyle {}(\mathbb {Z} d,0,+)\subseteq (\mathbb {Z} ,0,+)}$ (zu ${\displaystyle {}d\in \mathbb {N} }$).
e) ${\displaystyle {}({\left\{z\in {\mathbb {C} }\mid \vert {z}\vert =1\right\}},1,\cdot )\subseteq ({\mathbb {C} }\setminus \{0\},1,\cdot )}$.
f) ${\displaystyle {}({\left\{z\in {\mathbb {C} }\mid z^{n}=1\right\}},1,\cdot )\subseteq ({\left\{z\in {\mathbb {C} }\mid \vert {z}\vert =1\right\}},1,\cdot )}$ (zu ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$).

Wann bestehen die Nebenklassen aus endlich vielen Elementen, wann ist der Index endlich?