Untergruppen von Z^m/Endlich erzeugt/Fakt/Beweis

Wir beweisen dies durch Induktion über ${\displaystyle {}m}$.

Induktionsanfang: Es sei ${\displaystyle {}m=1}$.

Wenn ${\displaystyle {}U={0}}$ wird ${\displaystyle {}U}$ durch ${\displaystyle {}0}$ erzeugt. Andernfalls ist ${\displaystyle {}U}$ nicht die Nullgruppe und enthält daher noch weitere Elemente. Es sei ${\displaystyle {}a\in U}$ mit ${\displaystyle {}\vert {a}\vert \neq 0}$ minimal. Behauptung: ${\displaystyle {}U}$ wird durch ${\displaystyle {}a}$ erzeugt. Es sei ${\displaystyle {}x\in U}$ beliebig. Dann liefert Division mit Rest ${\displaystyle {}x=aq+r}$ mit ${\displaystyle {}0\leq r<\vert {a}\vert }$. Wegen ${\displaystyle {}r=x-aq}$ ist ${\displaystyle {}r\in U}$. Da ${\displaystyle {}a}$ minimal ist, muss ${\displaystyle {}r=0}$ sein. Daher wird ${\displaystyle {}U}$ tatsächlich durch ${\displaystyle {}a}$ erzeugt.

Induktionsvoraussetzung: Es sei jede Untergruppe von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} ^{m_{0}}}$ für ${\displaystyle {}m_{0}<m}$ endlich erzeugt durch höchstens ${\displaystyle {}m_{0}}$ Erzeuger (o.B.d.A. können wir hier immer genau ${\displaystyle {}m_{0}}$ Erzeuger ${\displaystyle {}y_{1},\ldots ,y_{m_{0}}}$ annehmen).

Induktionsschritt: Wir fixieren eine Untergruppe ${\displaystyle {}U\subseteq \mathbb {Z} ^{m}}$. Wir projizieren ${\displaystyle {}\mathbb {Z} ^{m}}$ kanonisch auf die letzte Komponente:

${\displaystyle p\colon \mathbb {Z} ^{m}\longrightarrow \mathbb {Z} ,\,(a_{1},\ldots ,a_{m})\longmapsto a_{m}.}$

Es gilt ${\displaystyle {}\operatorname {kern} p=\mathbb {Z} ^{m-1}}$. Daher ist ${\displaystyle {}U\cap \operatorname {kern} p}$ endlich erzeugt durch ${\displaystyle {}y_{1},\ldots ,y_{m-1}}$ aufgrund der Induktionsvoraussetzung. Es gilt auch ${\displaystyle {}\operatorname {bild} p=\mathbb {Z} }$. Daher ist ${\displaystyle {}p(U)}$ endlich erzeugt durch ${\displaystyle {}z=p(y_{m})}$. Es sei ${\displaystyle {}y\in U}$ beliebig. Es gilt ${\displaystyle {}p(y)=a_{m}z}$ und ${\displaystyle {}y'=y-a_{m}y_{m}\in U\cap \operatorname {kern} p}$. Daher ist ${\displaystyle {}y'=a_{1}y_{1}+\ldots +a_{m-1}y_{m-1}}$ und dies führt zu

${\displaystyle y=a_{1}y_{1}+...+a_{m}y_{m}.}$

${\displaystyle {}U}$ ist daher endlich erzeugt durch höchstens ${\displaystyle {}m}$ Elemente von ${\displaystyle {}U}$.