Vektorfeld/R^2/Gegenableitungdifferenz/Limesformel/Aufgabe

Es sei

${\displaystyle F\colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}}$

ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einer offenen Menge ${\displaystyle {}G\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$ und es sei

${\displaystyle {}\rho (P):={\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}(P)-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}(P)\,.}$

Zeige

${\displaystyle {}\rho (P)={\frac {1}{\pi }}\cdot \operatorname {lim} _{\epsilon \rightarrow 0}\,{\frac {1}{\epsilon ^{2}}}\int _{\gamma _{\epsilon }}F\,,}$

wobei ${\displaystyle {}\gamma _{\epsilon }}$ den einmal gegen den Uhrzeigersinn durchlaufenen Kreisweg um ${\displaystyle {}P}$ mit Radius ${\displaystyle {}\epsilon }$ bezeichnet.