Vektorfeld/Senkrecht/Kreisförmige Lösungen/Aufgabe

Es sei ein Vektorfeld der Form

${\displaystyle F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,\left(t,\,x,\,y\right)\longmapsto h\left(t,\,x,\,y\right){\begin{pmatrix}y\\-x\end{pmatrix}},}$

mit einer stetigen Funktion

${\displaystyle h\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,\left(t,\,x,\,y\right)\longmapsto h\left(t,\,x,\,y\right),}$

gegeben. Die Richtungsvektoren stehen also stets senkrecht zu den Ortsvektoren. Es sei ${\displaystyle {}r\in \mathbb {R} }$ und es sei

${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$

eine Lösung zur eindimensionalen Differentialgleichung

${\displaystyle {}y'=-h(t,r\cos y(t),r\sin y(t))\,.}$

Zeige, dass

${\displaystyle \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}r\cos \left(g(t)\right)\\r\sin \left(g(t)\right)\end{pmatrix}},}$

eine Lösung der Differentialgleichung

${\displaystyle {}v'=F(t,v)\,}$

ist.