Vektorraum/Abzählbare Basis/Fahnen/Austausch/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein ${\displaystyle {}K}$-Vektorraum und sei ${\displaystyle {}v_{n}}$, ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$, eine Basis von ${\displaystyle {}V}$. Es sei ${\displaystyle {}u_{n}}$, ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$, eine weitere Vektorenfamilie aus ${\displaystyle {}V}$. Für jedes ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$ gelte

${\displaystyle {}\langle v_{1},\ldots ,v_{n}\rangle =\langle u_{1},\ldots ,u_{n}\rangle \,.}$

Zeige, dass auch ${\displaystyle {}u_{n}}$, ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$, eine Basis von ${\displaystyle {}V}$ ist.