Vektorraum/Affiner Raum/Erzeugendensystem/Aufgabe/Lösung

Es sei zunächst ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{n}}$ ein Erzeugendensystem für den Vektorraum ${\displaystyle {}V}$. Dann lässt sich jeder Vektor ${\displaystyle {}v\in V}$ als eine Linearkombination

${\displaystyle {}v=\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}\,}$

darstellen. Mit

${\displaystyle {}a_{0}=1-\sum _{i=1}^{n}a_{i}\,}$

kann man

${\displaystyle {}v=a_{0}0+\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}\,}$

schreiben, und dies ist eine baryzentrische Darstellung von ${\displaystyle {}v}$ mit den Punkten ${\displaystyle {}0,v_{1},\ldots ,v_{n}}$.

Wenn umgekehrt ein affines Erzeugendensystem vorliegt, so lässt sich jeder Vektor als baryzentrische Kombination

${\displaystyle {}v=a_{0}0+\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}\,}$

mit ${\displaystyle {}\sum _{i=0}^{n}a_{i}=0}$ schreiben. Interpretiert man diese Gleichung mit dem Aufpunkt ${\displaystyle {}0}$, so erhält man direkt

${\displaystyle {}v=\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\overrightarrow {0v_{i}}}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}\,.}$