Vektorraum/Restklassenraum/Durchschnitt von Bildräumen/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein ${\displaystyle {}K}$-Vektorraum und ${\displaystyle {}U_{1},U_{2},U}$ seien Untervektorräume. Es sei

${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow V/U}$

die kanonische Projektion. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

a) Für die Bildräume gilt

${\displaystyle {}\varphi (U_{1})\cap \varphi (U_{2})=0\,.}$

b) Es ist

${\displaystyle {}U_{1}\cap (U_{2}+U)\subseteq U\,.}$

c) Es ist

${\displaystyle {}(U_{1}+U)\cap (U_{2}+U)\subseteq U\,.}$