Vektorraum/Vektorenfamilie/Matroid/Beispiel

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein ${\displaystyle {}K}$-Vektorraum und sei ${\displaystyle {}v_{i}}$, ${\displaystyle {}i\in I}$, eine Familie von Vektoren in ${\displaystyle {}V}$ zu einer endlichen Indexmenge ${\displaystyle {}I}$. Wir setzen

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\left\{J\subseteq I\mid {\text{Die Familie }}v_{j},j\in J,{\text{ ist linear unabhängig}}\right\}}\,}$

und behaupten, dass es sich dabei um ein Matroid handelt. Die Eigenschaften ergeben sich aus Fakt  (1,2) und aus folgender Überlegung: Wenn die Teilfamilien ${\displaystyle {}v_{j}}$, ${\displaystyle {}j\in J}$ und ${\displaystyle {}v_{\ell }}$, ${\displaystyle {}\ell \in L}$ zu ${\displaystyle {}J,L\subseteq I}$ jeweils linear unabhängig sind, und ${\displaystyle {}L}$ ein Element mehr als ${\displaystyle {}J}$ besitzt, so gilt für die erzeugten Untervektorräume aus Dimensionsgründen

${\displaystyle {}\langle v_{\ell },\ell \in L\rangle \not \subseteq \langle v_{j},j\in J\rangle \,.}$

Daher gibt es auch ein ${\displaystyle {}v_{k}}$, ${\displaystyle {}k\in L}$, mit ${\displaystyle {}v_{k}\notin \langle v_{j},j\in J\rangle }$. Doch dann ist die erweiterte Familie ${\displaystyle {}v_{j},j\in J,v_{k}}$ ebenfalls linear unabhängig.