Verband/Ordnungstheoretisch/Assoziativ/Aufgabe/Lösung

Zum Nachweis der Assoziativität seien ${\displaystyle {}x,y,z}$ gegeben. Wir vergleichen ${\displaystyle {}(x\sqcup y)\sqcup z}$ und ${\displaystyle {}x\sqcup (y\sqcup z)}$. Es ist

${\displaystyle {}x,y\leq x\sqcup y\leq (x\sqcup y)\sqcup z\,}$

und ebenso

${\displaystyle {}z\leq (x\sqcup y)\sqcup z\,.}$

Damit ist also

${\displaystyle {}x,y,z\leq (x\sqcup y)\sqcup z\,.}$

Da ${\displaystyle {}y\sqcup z}$ das Supremum von ${\displaystyle {}y}$ und ${\displaystyle {}z}$ ist, folgt

${\displaystyle {}y\sqcup z\leq (x\sqcup y)\sqcup z\,.}$

Daher ist auch

${\displaystyle {}x\sqcup (y\sqcup z)\leq (x\sqcup y)\sqcup z\,.}$