Vergleich/3 hoch Quadratwurzel 7/Ganzzahlig/Aufgabe/Lösung

${\displaystyle {}{\left({\frac {5}{2}}\right)}^{2}={\frac {25}{4}}\leq {\frac {28}{4}}=7={\frac {63}{9}}\leq {\frac {64}{9}}={\left({\frac {8}{3}}\right)}^{2}\,}$

ist dies richtig.

${\displaystyle {}{\frac {5}{2}}\leq {\sqrt {7}}\,}$

und damit ist

${\displaystyle {}3^{\frac {5}{2}}\leq 3^{\sqrt {7}}\,.}$

Wegen

${\displaystyle {}15^{2}=225\leq 243=3^{5}\,}$

ist

${\displaystyle {}15\leq 3^{\frac {5}{2}}\,}$

und damit

${\displaystyle {}15\leq 3^{\sqrt {7}}\,.}$

Nach Teil (1) ist

${\displaystyle {}{\sqrt {7}}\leq {\frac {8}{3}}\,}$

und damit ist

${\displaystyle {}3^{\sqrt {7}}\leq 3^{\frac {8}{3}}\,.}$

Wegen

${\displaystyle {}3^{8}=6561\leq 6859=19^{3}\,}$

ist

${\displaystyle {}3^{\frac {8}{3}}\leq 19\,}$

und damit

${\displaystyle {}3^{\sqrt {7}}\leq 19\,.}$

${\displaystyle {}{\frac {13}{5}}\leq {\sqrt {7}}\,,}$

da

${\displaystyle {}{\left({\frac {13}{5}}\right)}^{2}={\frac {169}{25}}\leq {\frac {175}{25}}=7\,}$

ist. Somit gilt

${\displaystyle {}3^{\frac {13}{5}}\leq 3^{\sqrt {7}}\,.}$

Wegen

${\displaystyle {}17^{5}=1419857\leq 1594323=81\cdot 81\cdot 81\cdot 3=3^{13}\,}$

ist

${\displaystyle {}17\leq 3^{\frac {5}{13}}\,}$

und damit auch

${\displaystyle {}17\leq 3^{\sqrt {7}}\,.}$