Veronese-Ringe/Fixpunktfreiheit/Fundamentalgruppe/Beispiel

Wir betrachten die durch

${\displaystyle \delta \colon \mathbb {Z} ^{n}\longrightarrow \mathbb {Z} /(\ell )=:D}$

mit

${\displaystyle \delta (e_{j})=1{\text{ für alle }}j}$

gegebene Graduierung auf ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$, die der linearen Operation der Matrizen

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\zeta ^{i}&0&\cdots &\cdots &0\\0&\zeta ^{i}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&\zeta ^{i}&0\\0&\cdots &\cdots &0&\zeta ^{i}\end{pmatrix}},\,i=1,\ldots ,\ell -1,}$

zu einer ${\displaystyle {}\ell }$-ten primitiven Einheitswurzel ${\displaystyle {}\zeta }$ entspricht. Nach Fakt ist der Invariantenring zu dieser Operation der ${\displaystyle {}\ell }$-te Veronese-Ring

${\displaystyle {\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{(\ell )}.}$

Bemerkung sind dabei erfüllt, es ist also ${\displaystyle {}0\in {\mathbb {C} }^{n}}$ der einzige Fixpunkt und die Operation auf ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }^{n}\setminus \{0\}}$ ist fixpunktfrei. Daher kann man bei ${\displaystyle {}n\geq 2}$ Fakt anwenden und erhält, dass die Fundamentalgruppe des punktierten Spektrum des Invariantenringes, also

${\displaystyle \operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{(\ell )}\right)}_{\mathbb {C} }\setminus \{P\},}$

gleich ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(\ell )}$ ist. Ein erzeugendes Element der Fundamentalgruppe wird auf der Monoidebene (bzw. auf dem Differenzengitter) durch den Homomorphismus

${\displaystyle \gamma \colon \Gamma =\operatorname {kern} \delta \longrightarrow \mathbb {Z} }$

gegeben, der die Erzeuger ${\displaystyle {}e_{j}}$ des umgebenden ${\displaystyle {}\mathbb {Z} ^{n}}$ auf ${\displaystyle {}{\frac {1}{\ell }}}$ abbildet. Somit wird jeder Erzeuger des Monoids auf ${\displaystyle {}1}$ abgebildet. Auf der Ringebene entspricht dies dem ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$-Algebrahomomorphismus

${\displaystyle \varphi \colon {\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{(\ell )}\longrightarrow {\mathbb {C} }[T,T^{-1}]}$

mit

${\displaystyle {}\varphi {\left(X^{\nu }\right)}=T^{\frac {\vert {\nu }\vert }{\ell }}\,}$

für alle Monome ${\displaystyle {}X^{\nu }}$ aus dem Veronese-Ring (die Erzeuger des Veronese-Ringes, also die Monome ${\displaystyle {}X^{\nu }}$, ${\displaystyle {}\vert {\nu }\vert =\ell }$, werden einfach auf ${\displaystyle {}W}$ abgebildet). Dies führt wiederum zur stetigen Abbildung

${\displaystyle {\mathbb {C} }^{\times }\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{(\ell )}\right)}_{\mathbb {C} },\,t\longmapsto (t:\,\vert {\nu }\vert =\ell )}$

(bzw. ins punktierte Spektrum). Somit ist

${\displaystyle [0,2\pi ]\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{(\ell )}\right)}_{\mathbb {C} }\setminus \{P\},\,s\longmapsto {\left(e^{{\mathrm {i} }s}:\,\vert {\nu }\vert =\ell \right)},}$

ein Erzeuger der lokalen Fundamentalgruppe des Veronese-Ringes.