Viertelkreis/Schwerpunkt/Aufgabe/Lösung

Wir arbeiten mit Polarkoordinaten. Der Flächeninhalt von ${\displaystyle {}T}$ ist ${\displaystyle {}\pi /4}$. In Polarkoordinaten wird ${\displaystyle {}T}$ durch den Radius

${\displaystyle {}0\leq r\leq 1\,}$

und den Winkel

${\displaystyle {}0\leq \theta \leq \pi /2\,}$

parametrisiert. Somit ist nach Fakt und Fakt

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{T}xd\lambda ^{2}&=\int _{0}^{\pi /2}\int _{0}^{1}r\cos \theta \cdot rdrd\theta \\&={\left(\int _{0}^{1}r^{2}dr\right)}{\left(\int _{0}^{\pi /2}\cos \theta \cdot d\theta \right)}\\&={\frac {1}{3}}\sin \left(\pi /2\right)\\&={\frac {1}{3}}.\end{aligned}}}$

Wegen der Symmetrie gilt dies auch für die ${\displaystyle {}y}$-Koordinate. Somit sind die Koordinaten des Schwerpunktes von ${\displaystyle {}T}$ gleich

${\displaystyle {}\left({\frac {\frac {1}{3}}{\frac {\pi }{4}}},\,{\frac {\frac {1}{3}}{\frac {\pi }{4}}}\right)=\left({\frac {4}{3\pi }},\,{\frac {4}{3\pi }}\right)\,.}$