Vollständige Dualität/Isomorphismen/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper, ${\displaystyle {}V}$ und ${\displaystyle {}W}$ seien endlichdimensionale ${\displaystyle {}K}$-Vektorräume über ${\displaystyle {}K}$ und

${\displaystyle \Psi \colon V\times W\longrightarrow K}$

sei eine Bilinearform, die eine vollständige Dualität definiere. Zeige, dass dann auch die Abbildung

${\displaystyle W\longrightarrow {V}^{*},\,w\longmapsto {\left(v\mapsto \Psi (v,w)\right)},}$

bijektiv ist.