Wachstum/e hoch x durch x^2+1/Aufgabe/Lösung

Die Ableitung ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}f'(x)&={\frac {e^{x}(x^{2}+1)-e^{x}(2x)}{(x^{2}+1)^{2}}}\\&={\frac {x^{2}-2x+1}{(x^{2}+1)^{2}}}e^{x}\\&={\frac {(x-1)^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}}e^{x}.\end{aligned}}}$

Wegen ${\displaystyle {}e^{x}>0}$ und ${\displaystyle {}(x-1)^{2}\geq 0}$ und ${\displaystyle {}(x-1)^{2}>0}$ für ${\displaystyle {}x\neq 1}$ ist die Ableitung nichtnegativ und hat nur für ${\displaystyle {}x=1}$ eine Nullstelle. Die Funktion ist also nach Fakt