Wahrscheinlichkeit/Zielwahrscheinlichkeit/Kurve/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}p\in [0,1]}$ die Wahrscheinlichkeit, mit der ein bestimmtes Ereignis ${\displaystyle {}A}$ bei der Durchführung eines Experiments eintritt, und entsprechend sei ${\displaystyle {}1-p}$ die Wahrscheinlichkeit, dass es nicht eintritt. Das Experiment werde zweimal unabhängig voneinander durchgeführt. Die möglichen Gesamtereignisse ${\displaystyle {}(A,A),(A,\neg A),(\neg A,A),(\neg A,\neg A)}$ haben dann eine von ${\displaystyle {}p}$ abhängige Wahrscheinlichkeit. Diese Abhängigkeit fassen wir als die polynomiale Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon {\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{4}},\,p\longmapsto \left(p^{2},\,p(1-p),\,(1-p)p,\,(1-p)^{2}\right)=\left(x,\,y,\,z,\,w\right),}$

auf.

a) Zeige, dass die Abbildung injektiv ist.

b) Beschreibe das Bild der Abbildung vollständig durch polynomiale Gleichungen.