Wahrscheinlichkeitsraum

Ein Wahrscheinlichkeitsraum besteht aus einem Tripel ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {S}},P)}$, wobei

• ${\displaystyle \Omega }$ die Menge aller möglichen Ergebnisse des Zufallsexperimentes (${\displaystyle \Omega =\{1,2,3,4,5,6\}}$ Würfelwurf)
• ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ als Mengensystem von Teilmengen von Omega als die Menge alle Ereignisse (z.B. ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq \wp (\Omega )}$ ) und
• ${\displaystyle P:{\mathcal {S}}\rightarrow [0,1]}$ die Funktion ist, die jeder messbaren Menge ${\displaystyle A\in {\mathcal {S}}}$ eine Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle P(A)}$ zuordnet (z.B. ${\displaystyle P(A)={\frac {1}{2}}}$ mit ${\displaystyle A:=\{1,3,5\}}$).

• (Ergebnis) Elemente ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ nennt man Ergebnisse eine des Zufallsexperimentes. Z.B. besagt das Ergebnis ${\displaystyle \omega =3}$ bei einem einmaligen Würfelwurf mit ${\displaystyle \Omega =\{1,2,3,4,5,6\}}$, dass die Zahl 3 gewürfelt wurde.
• (Ereignis) Elemente ${\displaystyle A\in {\mathcal {S}}}$ sind dagegen Mengen von einzelnen Ergebnissen, deren Zusammenfassung man als "Ereignis" bezeichnet. Das Ereignis "gerade Zahl gewürfel" kann man als Menge ${\displaystyle A=\{2,4,6\}}$ formal beschreiben. Alle ${\displaystyle A\in {\mathcal {S}}}$ aus der ${\displaystyle \sigma }$-Algebra nennt messbare Mengen, denen man später mit einem Wahrscheinlichkeitsmaß eine Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle P(A)}$ zuordnen kann.

Es kann gezeigt werden, dass man auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$ bzw. allgemeiner ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ nicht allen Teilmengen ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ mit einem positiven, ${\displaystyle \sigma }$-additiven, normierten und translationsinvarianten Maß ${\displaystyle \mu }$ eine Wahrscheinlichkeit zuordnen kann. dass u.a. Strecken deren Länge, Flächen deren Flächeninhalt bzw. allgemeine Mengen ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ das Volumen zuordnet. Als Konsequenz schränkt man die Mächtigkeit der Potenzmenge über die Definition der ${\displaystyle \sigma }$-Algebra ein.

Sei ${\displaystyle \Omega \not =\emptyset }$. Ein Teilmenge ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ der Potenzmenge ${\displaystyle \wp (\Omega )}$ heißt ${\displaystyle \sigma }$-Algebra, wenn folgende Bedingungen gelten:

• ${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {S}}}$
• ${\displaystyle A\in {\mathcal {S}}\Longrightarrow A^{c}=\Omega \setminus A\in {\mathcal {S}}}$
• ${\displaystyle A_{n}\in {\mathcal {S}}}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, dann gilt ${\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\in {\mathcal {S}}}$

Die Struktur der ${\displaystyle \sigma }$-Algebra ist Grundlage für die Definition der Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes und dessen Wohldefiniertheit.

Sei ${\displaystyle \Omega \not =\emptyset }$ und ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ eine ${\displaystyle \sigma }$-Algebra über ${\displaystyle \Omega }$, dann heißt ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {S}})}$ ein Messraum. Die Elemente ${\displaystyle A\in {\mathcal {S}}}$ heißen messbare Mengen.

Sei ${\displaystyle \Omega \not =\emptyset }$ und ${\displaystyle {\mathcal {S}}'\subseteq \wp (\Omega )}$. Ziel der Aufgabe ist es, ${\displaystyle {\mathcal {S}}'\subseteq \wp (\Omega )}$ so zu ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq \wp (\Omega )}$ zu erweitern, dass ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {S}})}$ ein Messraum ist.

• Sei ${\displaystyle \Omega :=\{1,2,3,4,5,6\}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {S}}':=\{\Omega ,\{1,2\},\{5,6\}\}}$. Ergänzen Sie Menge ${\displaystyle {\mathcal {S}}'}$ minimal so zu ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$, dass ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ eine ${\displaystyle \sigma -}$Algebra ist.

Die Borelsche ${\displaystyle \sigma -}$Algebra von den abgeschlossenen Intervallen ${\displaystyle {\mathcal {E}}:=\{[a,b]|a,b\in \mathbb {R} \wedge a<b\}}$ erzeugt:

• Begründen Sie mit dem Erzeuger der ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ und den Eigenschaften einer ${\displaystyle \sigma }$-Algebra, dass ${\displaystyle \{x\}\in {\mathcal {B}}}$ auch alle Einpunktmengen ${\displaystyle \{x\}\in {\mathcal {B}}}$ enthält.

Seien ${\displaystyle (\Omega _{1},{\mathcal {S}}_{1})}$ und ${\displaystyle (\Omega _{2},{\mathcal {S}}_{2})}$ Messräume. Eine Abbildung ${\displaystyle X:\Omega _{1}\longrightarrow \Omega _{2}}$ heißt ${\displaystyle ({\mathcal {S}}_{1},{\mathcal {S}}_{2})}$-messbar, wenn gilt:

${\displaystyle \forall _{B\in {\mathcal {S}}_{2}}\ :\ X^{-1}(B)\in {\mathcal {S}}_{1}}$

Über eine messbare Abbildung ${\displaystyle X:\Omega _{1}\longrightarrow \Omega _{2}}$ kann man eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ${\displaystyle P_{X}}$ von dem Messraum ${\displaystyle (\Omega _{1},{\mathcal {S}}_{1})}$ auf ${\displaystyle (\Omega _{2},{\mathcal {S}}_{2})}$ induzieren. Es gilt

${\displaystyle P_{X}(B):=P(X^{-1}(B))}$

für alle ${\displaystyle B\in {\mathcal {S}}_{2}}$.

Seien ${\displaystyle (\Omega _{1},{\mathcal {S}}_{1})}$ und ${\displaystyle (\Omega _{2},{\mathcal {S}}_{2})}$ als Messräume wie folgt definiert:

• ${\displaystyle \Omega _{1}:=\{1,2,3,4,5,6\}^{2}}$ zweimaliges Würfeln mit ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}:=\wp (\Omega _{1})}$ (Potenzmenge von ${\displaystyle \Omega _{1}}$).
• ${\displaystyle \Omega _{2}:=\mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{2}:={\mathcal {B}}}$ (Borelsche ${\displaystyle \sigma }$-Algebra).
• ${\displaystyle X(w_{1},w_{2}):=w_{1}+w_{2}}$ für alle ${\displaystyle (w_{1},w_{2})\in \Omega _{1}:=\{1,2,3,4,5,6\}^{2}}$

Bestimmen Sie mit ${\displaystyle X:\Omega _{1}\longrightarrow \Omega _{2}}$ die Menge ${\displaystyle B:=\{1,\,4\}\subset \Omega _{2}}$ die Menge ${\displaystyle X^{-1}(B)=X^{-1}(\{1,\,4\})\subseteq \Omega _{1}}$!

Sei ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {S}})}$ ein Messraum und eine Abbildung ${\displaystyle P:{\mathcal {S}}\longrightarrow \mathbb {R} }$ gegeben, die folgende Eigenschaften besitzt:

• (Nichtnegativität) ${\displaystyle P(A)\geq 0}$ für alle ${\displaystyle A\in {\mathcal {S}}}$
• (Normiertheit) ${\displaystyle P(\Omega )=1}$
• (${\displaystyle \sigma }$-Additivität) ${\displaystyle A_{n}\in {\mathcal {S}}}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ und paarweise disjunkt folgt: ${\displaystyle P\left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\right)=\sum _{n\in \mathbb {N} }P\left(A_{n}\right)}$.
  

${\displaystyle P}$ nennt man dann Wahrscheinlichkeitsmaß bzw. Wahrscheinlichkeitsverteilung auf ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {S}})}$ und ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {S}},P)}$ bezeichnet man als Wahrscheinlichkeitsraum.

• ${\displaystyle 0\leq P(A)\leq 1}$
• ${\displaystyle P(\emptyset )=0}$
• ${\displaystyle P(\Omega \setminus A)=1-P(A)}$
• ${\displaystyle P(A\setminus B)=P(A)-P(B)}$ falls ${\displaystyle B\subseteq A}$
• ${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)}$
• Gilt ${\displaystyle A\subseteq B}$, so folgt ${\displaystyle P(A)\leq P(B)}$.

Beweisen Sie die obigen Aussagen durch Anwendung der Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsraumes.

Vergleichen Sie die Eigenschaften der ${\displaystyle \sigma }$-Algebra mit den erweitereten Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes. Welche Parallelen stellen Sie fest? Gemeint sind Eigenschaften einer ${\displaystyle \sigma }$-Algebra, die notwendig sind, damit man das Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle P}$ überhaupt auf der ${\displaystyle \sigma }$-Algebra definieren kann.

Sei ${\displaystyle (\Omega _{1},{\mathcal {S}}_{1},P_{1})}$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und ${\displaystyle (\Omega _{2},{\mathcal {S}}_{2})=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}})}$ die Borelsche ${\displaystyle \sigma }$-Algebra, dann nennt man die ${\displaystyle ({\mathcal {S}}_{1},{\mathcal {B}})}$-messbare Abbildung ${\displaystyle X:\Omega _{1}\to \mathbb {R} }$ eine (eindimensionale) Zufallsgröße.

Bemerkung: Die Messbarkeit von ${\displaystyle X}$ sorgt dafür, dass ${\displaystyle P}$ auf der Menge ${\displaystyle X^{-1}(B)\in {\mathcal {S}}_{1}}$ definiert ist.

Sei ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {S}},P)}$ ein Zufallsexperiment und ${\displaystyle X:\Omega \rightarrow \mathbb {R} }$ eine Zufallsgröße auf dem Messraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {S}})}$. Die induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung ${\displaystyle P_{X}}$ ist dann mit ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ als Borelsche ${\displaystyle \sigma }$-Algebra wie folgt definiert:

${\displaystyle P_{X}:{\mathcal {B}}\rightarrow [0,1]}$ mit ${\displaystyle B\mapsto P_{X}(B):=P(\underbrace {X^{-1}(B)} _{\in \,{\mathcal {S}}})}$

${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}},P_{X})}$ nennt man eine induzierte W-Verteilung der Zufallsgröße ${\displaystyle X:\Omega \rightarrow \mathbb {R} }$

• Kurs:Stochastik
• Glockenkurve und stetige Wahrscheinlichkeitsdichten

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