X^3-3X+1/Irreduzibel über Q/Aufgabe/Lösung

Nach Fakt genügt es zu zeigen, dass ${\displaystyle {}X^{3}-3X+1}$ keine rationale Nullstelle besitzt. Nehmen wir an, dass

${\displaystyle {}q={\frac {a}{b}}\,}$

eine Nullstelle ist mit ${\displaystyle {}a,b\in \mathbb {Z} }$ in gekürzter Darstellung. Es gilt dann

${\displaystyle {}{\left({\frac {a}{b}}\right)}^{3}-3{\frac {a}{b}}+1=0\,}$

bzw.

${\displaystyle {}a^{3}-3ab^{2}+b^{3}=0\,.}$

Wenn eine Primzahl ${\displaystyle {}p}$ die Zahl ${\displaystyle {}a}$ teilt, folgt daraus, dass auch ${\displaystyle {}b}$ von ${\displaystyle {}p}$ geteilt wird, was der Gekürztheit widerspricht. Wegen ${\displaystyle {}b\neq 0}$ ist auch ${\displaystyle {}a\neq 0}$. Also muss ${\displaystyle {}a}$ eine Einheit sein. Wenn ${\displaystyle {}b}$ von einer Primzahl ${\displaystyle {}p}$ geteilt wird, so wäre auch ${\displaystyle {}a}$ ein Vielfaches von ${\displaystyle {}p}$. Also ist auch ${\displaystyle {}b}$ eine Einheit. Die verbleibenden Möglichkeiten ${\displaystyle {}a,b=\pm 1}$, also ${\displaystyle {}q=\pm 1}$,