X^4-p/Irreduzibel über Q/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahl.

a) Zeige, dass das Polynom ${\displaystyle {}X^{4}-p}$ irreduzibel über ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ ist.

b) Schließe daraus, dass

${\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\sqrt[{4}]{p}}]\subseteq \mathbb {R} \,}$

über ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ den Grad vier besitzt.

c) Finde einen echten Zwischenkörper

${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq K\subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{4}]{p}}]\,.}$