XY^3+YZ^3+ZX^3/Glatt/C/Aufgabe/Lösung

Da die Situation symmetrisch in den Variablen ist, genügt es, die Situation auf ${\displaystyle {}D_{+}(Z)}$ zu betrachten. Die inhomogene Gleichung der Kurve lautet dort

${\displaystyle {}XY^{3}+Y+X^{3}=0\,.}$

Die partiellen Ableitungen sind

${\displaystyle {\frac {\partial {\left(XY^{3}+Y+X^{3}\right)}}{\partial X}}=Y^{3}+3X^{2}\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {\partial {\left(XY^{3}+Y+X^{3}\right)}}{\partial Y}}=1+3XY^{2}.}$

Wir ziehen das ${\displaystyle {}X}$-fache der ersten Ableitung von der Kurvengleichung ab und erhalten die Bedingung

${\displaystyle {}Y=2X^{3}\,.}$

Dies setzen wir in die Kurvengleichung und in die zweite Ableitung ein und erhalten

${\displaystyle {}{\begin{aligned}0&=XY^{3}+Y+X^{3}\\&=8X^{10}+2X^{3}+X^{3}\\&=X^{3}{\left(8X^{7}+3\right)}\end{aligned}}}$

und

${\displaystyle {}1+3XY^{2}=1+12X^{7}\,.}$

Wegen letzterer Gleichung ist ${\displaystyle {}X=0}$ ausgeschlossen. Also müsste für einen singulären Punkt

${\displaystyle {}-{\frac {3}{8}}=X^{7}=-{\frac {1}{12}}\,}$