Z/Restklassenring nach Primelementpotenz/Ist zusammenhängend/Aufgabe/Lösung

Es sei ${\displaystyle {}e\in \mathbb {Z} /(p^{n})}$ ein idempotentes Element. Dies bedeutet

${\displaystyle {}e^{2}=e\,}$

und somit ist ${\displaystyle {}e(e-1)}$ ein Vielfaches von ${\displaystyle {}p^{n}}$, sagen wir

${\displaystyle {}e(e-1)=ap^{n}\,.}$

Nehmen wir ${\displaystyle {}e\neq 0,1}$ an. Wegen der eindeutigen Primfaktorzerlegung in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ ist

${\displaystyle {}e=bp^{i}\,}$

und

${\displaystyle {}e-1=cp^{j}\,}$

mit

${\displaystyle {}i+j=n\,.}$

Wären ${\displaystyle {}i,j\geq 1}$, so wäre sowohl ${\displaystyle {}e}$ als auch ${\displaystyle {}e-1}$ ein Vielfaches von ${\displaystyle {}p}$, und das würde dann auch für ${\displaystyle {}1=e-(e-1)}$ gelten, was nicht der Fall ist. Also ist ${\displaystyle {}i=n}$ oder ${\displaystyle {}j=n}$, was ${\displaystyle {}e=0}$ oder ${\displaystyle {}e-1=0}$

${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p^{n})}$