Z mod 35/24 hoch 1000000/Aufgabe/Lösung

Der Zahl ${\displaystyle {}24}$ entspricht in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(35)\cong \mathbb {Z} /(5)\times \mathbb {Z} /(7)}$ das Paar ${\displaystyle {}(4,3)}$. Das Element ${\displaystyle {}4}$ hat in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(5)}$ die Ordnung ${\displaystyle {}2}$. Das Element ${\displaystyle {}3}$ hat in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(7)}$ wegen ${\displaystyle {}3^{2}=2\neq 1}$ und ${\displaystyle {}3^{3}=6\neq 1}$ die Ordnung ${\displaystyle {}6}$. Die multiplikative Ordnung von ${\displaystyle {}24}$ ist somit ${\displaystyle {}6}$. In ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(6)}$ gilt (durch abziehen von ${\displaystyle 600000}$ und ${\displaystyle 360000}$ etc.)

${\displaystyle {}1000000=400000=40000=4000=400=40=4\,.}$

Daher ist die gefragte Potenz in Produktschreibweise gleich

${\displaystyle {}(4^{4},3^{4})=(1,2^{2})=(1,4)\,.}$

${\displaystyle {}11}$