Zahlbereich/Gebrochene Ideale/Isomorphie/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein Zahlbereich und es seien ${\displaystyle {}{\mathfrak {f}}}$ und ${\displaystyle {}{\mathfrak {g}}}$ gebrochene Ideale.

1. Zeige, dass wenn es ein ${\displaystyle {}r\in Q(R)}$, ${\displaystyle {}r\neq 0}$, mit

   ${\displaystyle {}{\mathfrak {g}}=r{\mathfrak {f}}\,}$

   gibt, dass dann die Multiplikation mit ${\displaystyle {}r}$, also

   ${\displaystyle Q(R)\longrightarrow Q(R),\,f\longmapsto rf,}$

   einen ${\displaystyle {}R}$-Modulisomorphismus

   ${\displaystyle {\mathfrak {f}}\longrightarrow {\mathfrak {g}}}$

   induziert.

2. Zeige, dass wenn es irgendeinen ${\displaystyle {}R}$-Modulisomorphismus

   ${\displaystyle \varphi \colon {\mathfrak {f}}\longrightarrow {\mathfrak {g}}}$

   gibt, dass es dann schon ein ${\displaystyle {}r\in Q(R)}$ mit

   ${\displaystyle {}{\mathfrak {g}}=r{\mathfrak {f}}\,}$

   gibt, und dass der Isomorphismus eine Multiplikation ist.